Theo đề bài có:

Độ dài trục lớn của elip bằng 769266km ⇒ A1A2 = 2a = 769266 ⇒ a = 384633

Độ dài trục nhỏ của elip bằng 768106km ⇒ B1B2 = 2b = 768106 ⇒ b = 384053

⇒ c2 = a2 – b2 = 445837880 ⇒ c ≈ 21115

⇒ F1F2 = 2c = 42230

⇒ A1F1 = A2F2 = (A1A2 – F1F2)/2 = 363518

+ Trái Đất gần Mặt Trăng nhất khi Mặt Trăng ở điểm A2

⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trăng bằng A2F2 = 363518 km

+ Trái Đất xa Mặt Trăng nhất khi Mặt Trăng ở điểm A1

⇒ khoảng cách xa nhất giữa Trái Đất và Mặt Trăng bằng:

A1F2 = A1F1 + F1F2 = 405748 km.

Các thông đó được hiểu là các số gần đúng.

a: Gọi hàm số bậc hai cần tìm là (P): \(y=ax^2+bx+c\)

Thay x=0 và y=-7 vào (P), ta được:

\(a\cdot0^2+b\cdot0+c=-7\)

=>c=-7

=>(P): \(y=ax^2+bx-7\)

Thay x=-4 và y=10 vào (P), ta được: \(a\cdot\left(-4\right)^2+b\cdot\left(-4\right)-7=10\)

=>16a-4b=17(1)

Thay x=20 và y=5 vào (P), ta được:

\(a\cdot20^2+b\cdot20-7=5\)

=>400a+20b=12(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}16a-4b=17\\400a+20b=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}80a-20b=85\\400a+20b=12\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}480a=97\\16a-4b=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{97}{480}\\4b=16a-17=-\dfrac{413}{30}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{97}{480}\\b=-\dfrac{413}{120}\end{matrix}\right.\)

Vậy: (P): \(y=\dfrac{97}{480}x^2-\dfrac{413}{120}x-7\)

Để quả bóng ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì:

\(\begin{array}{l}h(t) > 5\\ \Rightarrow  - 4,9{t^2} + 20t + 1 > 5\\ \Rightarrow  - 4,9{t^2} + 20t - 4 > 0\end{array}\)

Đặt \(f(t) =  - 4,9{t^2} + 20t - 4\)có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {10^2} - ( - 4,9).( - 4) = 80,4 > 0\)nên \(f(t)\)có 2 nghiệm: \(\begin{array}{l}{t_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 10 + \sqrt {80,4} }}{{ - 4,9}} = \frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}}\\{t_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a} = \frac{{ - 10 - \sqrt {80,4} }}{{ - 4,9}} = \frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}\end{array}\)

Mặt khác \(a =  - 4,9 < 0\), do đó ta có bảng xét dấu sau

Do đó để \(h(t) > 5\)thì \(t \in \left( {\frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}};\frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}} \right)\)

Vậy để quả bóng sẽ ở độ cao trên 5m so với mặt đất thì \(t \in \left( {\frac{{10 - \sqrt {80,4} }}{{4,9}};\frac{{10 + \sqrt {80,4} }}{{4,9}}} \right)\)

a) Tung độ đỉnh của hàm số \(y = \frac{{ - 3}}{{1000}}{x^2} + x\) là:

\(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - \left( {{1^2} - 4.\frac{{ - 3}}{{1000}}.0} \right)}}{{4.\frac{{ - 3}}{{1000}}}} = \frac{{250}}{3}\)

Vậy độ cao cực đại của vật là \(\frac{{250}}{3}(m)\)

b) Vật chạm đất khi:

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{{1000}}{x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{1000}}{3}\)và x=0(loại)

Vậy khoảng cách từ điểm chạm mặt đất sau khi bay của vật đến gốc O là \(\frac{{1000}}{3}\left( m \right)\)

a, Thời gian theo dõi mực nước ở Trường Sa được thể hiện trong hình từ năm 2013 đến năm 2019.

b, Trong khoảng thời gian đó, năm 2015 mực nước biển trung bình của Trường Sa là thấp nhất (khoảng 237mm), còn năm 2013 và năm 2018 thì là năm có mực nước biển của Trường Sa là cao nhất (khoảng 242mm)

Ta có:

\({A_1}{A_2} = 2a \Rightarrow 2a = 768800 \Rightarrow a = 384400\) và \({B_1}{B_2} = 2b \Rightarrow 767619 = 2b \Rightarrow b = 383809,5\)

Vậy phương trình chính tắc của (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{{384400}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{383809,5}^2} = 1\)