Ta có : \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\)

Tương tự ta cũng có 

           \(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)

Cộng các vế ta được \(S\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)

Vậy \(S_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

\(z=x+yi\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2=x^2+y^2\)

\(\Rightarrow x+y+1=0\Rightarrow\) tập hợp z là đường thẳng d: \(x+y+1=0\)

\(P=\left|\left(z-4-5i\right)-\left(w-3-4i\right)\right|\ge\left|\left|z-4-5i\right|-\left|w-3-4i\right|\right|=\left|\left|z-4-5i\right|-1\right|\)

Gọi M là điểm biểu diễn z và \(A\left(4;5\right)\Rightarrow\left|z-4-5i\right|=AM\)

\(AM_{min}=d\left(A;d\right)=\dfrac{\left|4+5+1\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=5\sqrt{2}\) 

\(\Rightarrow P\ge\left|5\sqrt{2}-1\right|=5\sqrt{2}-1\)

sao ở đây lại có dấu ≥ ạ?

P=|(z−4−5i)−(w−3−4i)|≥||z−4−5i|−|w−3−4i||

a) Ta có 

\(a^2+4b^2=12ab\Leftrightarrow\left(a+2b\right)^2=16ab\)

Do a,b dương nên \(a+2b=4\sqrt{ab}\) khi đó lấy logarit cơ số 10 hai vế ta được :

\(lg\left(a+2b\right)=lg4+\frac{1}{2}lg\left(ab\right)\)

hay 

\(lg\left(a+2b\right)-2lg2=\frac{1}{2}\left(lga+lgb\right)\)

b) Giả sử a,b,c đều dương khác 0. Để biểu diễn c theo a, ta rút lgb từ biểu thức \(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\) và thế vào biểu thức \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\). Sau khi lấy logarit cơ số 10 2 vế, ta có :

\(a=10^{\frac{1}{1-lgb}}\Rightarrow lga=\frac{1}{1-lgb}\Rightarrow lgb=1-\frac{1}{lga}\)

Mặt khác , từ \(b=10^{\frac{1}{1-lgc}}\) suy ra \(lgb=\frac{1}{1-lgc}\) Do đó :

\(1-\frac{1}{lga}=\frac{1}{1-lgc}\)

\(\Rightarrow1-lgx=\frac{lga}{lga-1}=1+\frac{1}{lga-1}\)

\(\Rightarrow lgc=\frac{1}{1-lga}\)

Từ đó suy ra : \(c=10^{\frac{\frac{1}{1-lga}}{ }}\)

\(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)^2-3xy\)

Đặt \(x+y=t\Rightarrow xy=\frac{t^2}{t+3}\)

Lại có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow t^2\ge\frac{4t^2}{t+3}\)

\(\Leftrightarrow t^2\left(\frac{t-1}{t+3}\right)\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge1\\t< -3\end{matrix}\right.\)

\(A=\frac{x^3+y^3}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{\left(xy\right)^3}=\frac{\left(x+y\right)\left(x+y\right)xy}{\left(xy\right)^3}=\left(\frac{x+y}{xy}\right)^2\)

\(A=\left(\frac{t\left(t+3\right)}{t^2}\right)^2=\left(\frac{t+3}{t}\right)^2=\left(1+\frac{3}{t}\right)^2\)

\(\Rightarrow y'=-\frac{6\left(t+3\right)}{t^3}< 0\) \(\forall t\ge1;t< -3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(1+\frac{3}{t}\right)^2=1\Rightarrow A_{max}=A\left(1\right)=16\)

\(\Rightarrow M=16\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Đáp án B

Chọn C.