\(a,\) Áp dụng HTL tam giác:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=16\\AC^2=BC\cdot CH=8\left(8-2\right)=48\\AH^2=BH\cdot CH=2\left(8-2\right)=12\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=4\left(cm\right)\\AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\\AH=2\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(b,\widehat{ADB}=\widehat{AHB}\left(=90^0\right)\Rightarrow ADHB.nội.tiếp\\ \Rightarrow\widehat{DHA}=\widehat{DBA}\left(cùng.chắn.AD\right)\left(1\right)\) \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CKB}=\widehat{KAB}+\widehat{ABD}\left(góc.ngoài\right)=90^0+\widehat{ABD}\\\widehat{DHB}=\widehat{DHA}+\widehat{AHB}=\widehat{DHA}+90^0\\\widehat{ABD}=\widehat{DHA}\left(cm.trên\right)\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\widehat{CKB}=\widehat{DHB}\\ \left\{{}\begin{matrix}\widehat{CKB}=\widehat{DHB}\\\widehat{CBK}.chung\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta DHB\sim\Delta CKB\left(g.g\right)\\ \Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BH}{BK}\Rightarrow BD\cdot BK=BH\cdot BC\)

bạn lmđc câu mô rồi

1) Áp dụng hệ thức 1 cho \(\Delta ABC\)vuông tại A ,ta có :

\(AB^2=BH.BC\)

\(\Rightarrow15^2=BH.25\)

\(\Rightarrow BH=9\)(cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHB ta có :

\(AH^2+BH^2=AB^2\)

\(\Rightarrow AH^2+9^2=15^2\)

\(\Rightarrow AH=12\)(cm)

\(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}\approx53^o8^'\)

2) Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC vuông 

\(\Rightarrow\)\(AM=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}=12,5\)(cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác AHM ta có :

\(AH^2+HM^2=AM^2\)

\(\Rightarrow12^2+HM^2=12,5^2\)

\(\Rightarrow HM=3.5\)(cm)

Diện tích tam giác AHM là :

\(\frac{AH.HM}{2}=\frac{12.3,5}{2}=21\)(cm²)

3) Áp dụng hệ thức 1 cho tam giác vuông ABK ta có :

AB² = BD.BK

mặt khác AB² = BH.BC

\(\Rightarrow\)BD.BK = BH.BC

a: CH=8-2=6(cm)

\(AB=\sqrt{BH\cdot BC}=4\left(cm\right)\)

\(AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(AH=4\cdot\dfrac{4\sqrt{3}}{8}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)

bạn ơi

tấm đầu mình nhìn không rõ chữ

bạn chụp lại đc k ạ

a: CH=6cm

AB=4cm

\(AC=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=AB^2\left(1\right)\)

Xét ΔABK vuông tại A có AD là đường cao

nên \(BD\cdot BK=AB^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(BH\cdot BC=BD\cdot BK\)

a: Sửa đề: \(AC=2\sqrt3\left(m\right)\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=2^2+\left(2\sqrt3\right)^2=4+12=16\)

=>BC=4(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot4=2\cdot2\sqrt3=4\sqrt3\)

=>\(AH=\frac{4\sqrt3}{4}=\sqrt3\) (cm)

Xét ΔBAC vuông tại A có sin B=\(\frac{AC}{BC}=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}\)

nên \(\hat{B}=60^0\)

b: Xét ΔABE vuông tại A có AK là đường cao

nên \(BK\cdot BE=BA^2\left(1\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BC=BA^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BK\cdot BE=BH\cdot BC\)

Xét ΔEAB vuông tại A có AK là đường cao

nên \(EK\cdot EB=EA^2\)

=>\(EK\cdot EB=EC^2\)

=>\(\frac{EK}{EC}=\frac{EC}{EB}\)

Xét ΔEKC và ΔECB có

\(\frac{EK}{EC}=\frac{EC}{EB}\)

góc KEC chung

Do đó: ΔEKC~ΔECB

Đề bài của em bị sai

Hai tam giác BHD và BKC đồng dạng do chung góc \(\widehat{KBC}\) và \(\widehat{BDH}=\widehat{BCK}\) (cùng bằng \(\widehat{BAH}\))

Do đó tỉ số đồng dạng 2 tam giác là \(k=\dfrac{BD}{BC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{BDH}}{S_{BKC}}=k^2=\dfrac{BD^2}{BC^2}\)

Nếu đề bài đúng thì đồng nghĩa ta phải chứng minh:

 \(\dfrac{BD^2}{BC^2}=\dfrac{cos^2\widehat{ABD}}{4}=\dfrac{\left(\dfrac{BD}{AB}\right)^2}{4}=\dfrac{BD^2}{4AB^2}\)

\(\Rightarrow BC^2=4AB^2\) nhưng điều này rõ ràng ko đúng (vì đề bài ko hề cho BC=2AB)

Vâng ạ, đề em quên đưa ra số liệu ạ, còn em làm được rồi ạ. Cảm ơn ad nhiều ạ.