Câu hỏi của Ng Bảo Uyên

Question

Cho ABC vuông tại A (AB

lionel messi · Accepted Answer

Lời giải chi tiết:a) Chứng minh 4 điểm $A, B, K, C$ cùng thuộc một đường tròn

Ta có $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$, suy ra $H$ là trung điểm của $AK$.
Vì $AH \perp BC$ tại $H$, nên $BC \perp AK$ tại trung điểm $H$ của $AK$.
Do đó, $BC$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$.
Vì $B$ và $C$ nằm trên đường trung trực của $AK$, ta có:
$\Rightarrow BA=BK\quad \text{và}\quad CA=CK$
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle KBC$ có:
- $AB = KB$ (chứng minh trên)
- $AC = KC$ (chứng minh trên)
- $BC$ là cạnh chung
Do đó $\triangle ABC = \triangle KBC$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{BKC} = \widehat{BAC}$. Mà $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{BKC} = 90^\circ$.
Tứ giác $ABKC$ có hai đỉnh $A$ và $K$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^{\circ }$, nên tứ giác $ABKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ (hay 4 điểm $A, B, K, C$ cùng thuộc một đường tròn).

b) Chứng minh $AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2$

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HD$, áp dụng hệ thức lượng ta có:
$AD\cdot AB=AH^{2}\quad (1)$
Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$, áp dụng hệ thức lượng ta có:
$AE\cdot AC=AH^{2}\quad (2)$
Cộng vế với vế của $(1)$ và $(2)$ ta được:
$AD\cdot AB+AE\cdot AC=AH^{2}+AH^{2}=2AH^{2}\quad (3)$
Mặt khác, xét tứ giác $ADHE$ có: $\widehat{DAE} = 90^\circ$, $\widehat{ADH} = 90^\circ$, $\widehat{AEH} = 90^\circ$.
Do đó, tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật $ADHE$, hai đường chéo bằng nhau nên:
$DE=AH\Rightarrow DE^{2}=AH^{2}\quad (4)$
Thay $(4)$ vào $(3)$ ta thu được điều phải chứng minh:
$\mathbf{AD\cdot AB+AE\cdot AC=2DE}^{\mathbf{2}}$

Câu trả lời: Lời giải chi tiết:a) Chứng minh 4 điểm $A, B, K, C$ cùng thuộc một đường tròn

Ta có $K$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$, suy ra $H$ là trung điểm của $AK$.
Vì $AH \perp BC$ tại $H$, nên $BC \perp AK$ tại trung điểm $H$ của $AK$.
Do đó, $BC$ chính là đường trung trực của đoạn thẳng $AK$.
Vì $B$ và $C$ nằm trên đường trung trực của $AK$, ta có:
$\Rightarrow BA=BK\quad \text{và}\quad CA=CK$
Xét $\triangle ABC$ và $\triangle KBC$ có:
- $AB = KB$ (chứng minh trên)
- $AC = KC$ (chứng minh trên)
- $BC$ là cạnh chung
Do đó $\triangle ABC = \triangle KBC$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{BKC} = \widehat{BAC}$. Mà $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{BKC} = 90^\circ$.
Tứ giác $ABKC$ có hai đỉnh $A$ và $K$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới một góc $90^{\circ }$, nên tứ giác $ABKC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ (hay 4 điểm $A, B, K, C$ cùng thuộc một đường tròn).

b) Chứng minh $AD \cdot AB + AE \cdot AC = 2DE^2$

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$ có đường cao $HD$, áp dụng hệ thức lượng ta có:
$AD\cdot AB=AH^{2}\quad (1)$
Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có đường cao $HE$, áp dụng hệ thức lượng ta có:
$AE\cdot AC=AH^{2}\quad (2)$
Cộng vế với vế của $(1)$ và $(2)$ ta được:
$AD\cdot AB+AE\cdot AC=AH^{2}+AH^{2}=2AH^{2}\quad (3)$
Mặt khác, xét tứ giác $ADHE$ có: $\widehat{DAE} = 90^\circ$, $\widehat{ADH} = 90^\circ$, $\widehat{AEH} = 90^\circ$.
Do đó, tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.
Trong hình chữ nhật $ADHE$, hai đường chéo bằng nhau nên:
$DE=AH\Rightarrow DE^{2}=AH^{2}\quad (4)$
Thay $(4)$ vào $(3)$ ta thu được điều phải chứng minh:
$\mathbf{AD\cdot AB+AE\cdot AC=2DE}^{\mathbf{2}}$

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Answer

a: K đối xứng A qua H

=>H là trung điểm của AK

Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBHK vuông tại H có

BH chung

HA=HK

Do đó: ΔBHA=ΔBHK

=>BA=BK và $\hat{ABH}=\hat{KBH}$

Xét ΔBAC và ΔBKC có

BA=BK

$\hat{ABC}=\hat{KBC}$

BC chung

Do đó: ΔBAC=ΔBKC

=>$\hat{BAC}=\hat{BKC}$

=>$\hat{BKC}=90^0$

Xét tứ giác ABKC có $\hat{BAC}+\hat{BKC}=90^0+90^0=180^0$

nên ABKC là tứ giác nội tiếp

=>A,B,K,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét tứ giác ADHE có $\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0$

nên ADHE là hình chữ nhật

=>AH=DE

Xét ΔHAB vuông tại H có HD là đường cao

nên $AD\cdot AB=AH^2$

Xét ΔHAC vuông tại H có HE là đường cao

nên $AE\cdot AC=AH^2$

$AD\cdot AB+AE\cdot AC$

$=AH^2+AH^2=2\cdot AH^2=2\cdot DE^2$

Câu trả lời: