What sorry bn mình chx học:(

toán 9 kiểu gì mà khó vậy

mn thông cam mik học chuyên nên bài hơn đô tí

$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} = 2$

$\Leftrightarrow \left(\frac{x}{y+z} + 1\right) + \left(\frac{y}{z+x} + 1\right) + \left(\frac{z}{x+y} + 1\right) = 2 + 3$

$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{y+z} + \frac{x+y+z}{z+x} + \frac{x+y+z}{x+y} = 5$

$\Leftrightarrow (x+y+z) \left(\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y}\right) = 5$

$\Leftrightarrow 3 \left(\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y}\right) = 5$

$\Leftrightarrow \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y} = \frac{5}{3}$

Mặt khác, ta xét tích:

$[(x+y) + (y+z) + (z+x)] \left(\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y}\right)$

$= 2(x+y+z) \left(\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y}\right)$

$= 2 \times 3 \times \frac{5}{3} = 10$

Theo bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho 3 số dương:

$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \ge 9$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$.

Áp dụng với $a = x+y, b = y+z, c = z+x$:

$[(x+y) + (y+z) + (z+x)] \left(\frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x}\right) \ge 9$ (giá trị tính ra ở trên là 10, dấu bằng chưa đạt nếu cộng trực tiếp, ta đánh giá qua biến đổi khác).

Biến đổi tương đương chuẩn lớp 8:

Từ $\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} = 2$ và $x+y+z = 3$:

Cộng mỗi vế với 1:

$\left(\frac{x}{y+z} + 1\right) + \left(\frac{y}{z+x} + 1\right) + \left(\frac{z}{x+y} + 1\right) = 5$

$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{y+z} + \frac{x+y+z}{z+x} + \frac{x+y+z}{x+y} = 5$

Vì $x+y+z = 3$:

$\frac{3}{y+z} + \frac{3}{z+x} + \frac{3}{x+y} = 5$

$\Leftrightarrow \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y} = \frac{5}{3}$

Ta có:

$y+z = 3 - x$

$z+x = 3 - y$

$x+y = 3 - z$

Thay vào phương trình trên:

$\frac{1}{3-x} + \frac{1}{3-y} + \frac{1}{3-z} = \frac{5}{3}$

Quy đồng và biến đổi:

$\frac{1}{3-x} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3-y} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3-z} - \frac{1}{2} = \frac{5}{3} - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2 - (3-x)}{2(3-x)} + \frac{2 - (3-y)}{2(3-y)} + \frac{2 - (3-z)}{2(3-z)} = \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{x-1}{2(3-x)} + \frac{y-1}{2(3-y)} + \frac{z-1}{2(3-z)} = \frac{1}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{3(x-1)}{3-x} + \frac{3(y-1)}{3-y} + \frac{3(z-1)}{3-z} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{3x - 3}{3-x} + \frac{3y - 3}{3-y} + \frac{3z - 3}{3-z} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{3x - 9 + 6}{3-x} + \frac{3y - 9 + 6}{3-y} + \frac{3z - 9 + 6}{3-z} = 1$

$\Leftrightarrow \left(-3 + \frac{6}{3-x}\right) + \left(-3 + \frac{6}{3-y}\right) + \left(-3 + \frac{6}{3-z}\right) = 1$

$\Leftrightarrow \frac{6}{3-x} + \frac{6}{3-y} + \frac{6}{3-z} = 10$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3-x} + \frac{1}{3-y} + \frac{1}{3-z} = \frac{5}{3}$ (trở về đẳng thức ban đầu).

Thay $3 = x+y+z$ vào mẫu:

$3-x = y+z$

$3-y = z+x$

$3-z = x+y$

Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc cho các số dương:

$\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y} \ge \frac{9}{(y+z) + (z+x) + (x+y)} = \frac{9}{2(x+y+z)} = \frac{9}{2 \times 3} = \frac{3}{2}$

Đề bài cho tổng này bằng $\frac{5}{3}$. Dấu đẳng thức xảy ra khi:

$y+z = z+x = x+y \Leftrightarrow x = y = z$

Mà $x+y+z = 3 \Rightarrow 3x = 3 \Leftrightarrow x = 1$

Vậy $x = y = z = 1$ (điều phải chứng minh).
Bạn tham khảo chứ bài này dài quá (:

kem van ni ơi mik cảm ơn nhìu nha

? nếu dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

=> \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac32\) chứ

làm theo cách sửa của mik thì

cộng thêm 3 vào 2 vế

=> \(\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{x+z}+1\right)+\left(\frac{z}{x+y}+1\right)=\frac32+3\)

=> \(\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}=\frac92\)

=> \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}\right)=\frac92\)

=> \(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}=\frac32\left(1\right)\)

đặt a=y+z

b=x+z

c=x+y

=> a+b+c=2(x+y+z)=6

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac32\)

mà ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

ta có bđt: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

CM: \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng với mọi số a,b dương

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)

mà ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=6\cdot\frac32=9\)

vậy "=" xảy ra khi a=b=c

=> y+z=z+x=x+y

=>x=y=z

vì x+y+z=3=> x+x+x=3=>3x=3=>x=1

=>x=y=z=1

Xét phân thức thứ nhất \(P_1 = \dfrac{x}{y^2 + z}\) Ta biến đổi tử số:

\(\frac{x}{y^2 + z} = \frac{x(y^2 + z) - x y^2}{y^2 + z} = x - \frac{x y^2}{y^2 + z}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương \(y^2\) và \(z\)

\(y^2 + z \ge 2\sqrt{y^2 z} = 2y\sqrt{z}\)

Do đó:

\(\frac{x y^2}{y^2 + z} \le \frac{x y^2}{2y\sqrt{z}} = \frac{x y}{2\sqrt{z}}\)

\(\Longrightarrow\frac{x}{y^2 + z}=x-\frac{x y^2}{y^2 + z}\ge x-\frac{x y}{2\sqrt{z}}\)

Áp dụng tương tự cho 2 phân thức còn lại

\(\frac{y}{z^2 + x} \ge y - \frac{y z}{2\sqrt{x}}\)

\(\frac{z}{x^2 + y} \ge z - \frac{z x}{2\sqrt{y}}\)

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{x}{y^2 + z} + \frac{y}{z^2 + x} + \frac{z}{x^2 + y} \ge (x + y + z) - \frac{1}{2} \left( \frac{xy}{\sqrt{z}} + \frac{yz}{\sqrt{x}} + \frac{zx}{\sqrt{y}} \right)\)

Thế \(x+y+z=3\) và giả thiết \(\dfrac{x}{y^2 + z} + \dfrac{y}{z^2 + x} + \dfrac{z}{x^2 + y} = 2\) vào:

\(2 \ge 3 - \frac{1}{2} \left( \frac{xy}{\sqrt{z}} + \frac{yz}{\sqrt{x}} + \frac{zx}{\sqrt{y}} \right)\)

\(\Rightarrow \frac{1}{2} \left( \frac{xy}{\sqrt{z}} + \frac{yz}{\sqrt{x}} + \frac{zx}{\sqrt{y}} \right) \ge 3 - 2 = 1\)

\(\Rightarrow \frac{xy}{\sqrt{z}} + \frac{yz}{\sqrt{x}} + \frac{zx}{\sqrt{y}} \ge 2 \quad \text{(1)}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 2 số dương \(z\) và 1

\(z + 1 \ge 2\sqrt{z} \Rightarrow \sqrt{z} \le \frac{z + 1}{2}\)

\(\longrightarrow{}\frac{xy}{\sqrt{z}}\ge\frac{2xy}{z + 1}\)

Tương tự:

\(\frac{yz}{\sqrt{x}} \ge \frac{2yz}{x + 1}, \quad \frac{zx}{\sqrt{y}} \ge \frac{2zx}{y + 1}\)

\(\Longrightarrow T\ge\frac{2xy}{z + 1}+\frac{2yz}{x + 1}+\frac{2zx}{y + 1}\)

\(\) Mặt khác, thế \(1 = \dfrac{x + y + z}{3}\) vào mẫu số

\(z + 1 = z + \frac{x + y + z}{3} = \frac{x + y + 4z}{3}\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 4 số \((x+z)+(y+z):\)

Theo bđt cosi cho 4 số \((x+z)+(y+z):\)

Theo \(\)cosi dạng \(\dfrac{1}{A + B} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B}\right)\) , nhưng để đơn giản chỉ dùng cosi 2 số:

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng cosi cho các cặp số:

\(\dfrac{xy}{\sqrt{z}} + xy\sqrt{z} \ge 2xy\)

Mà \(xy\sqrt{z} = xy \cdot \sqrt{z \cdot 1} \le xy \cdot \dfrac{z + 1}{2} = \dfrac{xyz + xy}{2}\)

Cộng 3 cặp tương tự:

\(\sum \frac{xy}{\sqrt{z}} \ge \sum \left( 2xy - \frac{xyz + xy}{2} \right) = \frac{3}{2}(xy + yz + zx) - \frac{3}{2}xyz\)

Dựa vào bất đẳng thức quen thuộc \(xy + yz + zx \le \dfrac{(x+y+z)^2}{3} = 3\) và \(xyz\le1\)

Dấu "=" xảy ra ở tất cả các bước bất đẳng thức cosi trên khi và chỉ khi:

\(1,y^2=z;z^2=x;x^2=y\)

\(\) \(2,z=1,x=1,y=1\)

\(3,x=y=z\)

Kết hợp với điều kiện \(x + y + z = 3\) ta thu được duy nhất \(x = y = z = 1\)

Vậy \(x=y=z=1\) (dpcm)

Bài làm mang tính chất tham khảo.

mik cảm ơn hai bạn nha