\(3^{64}<n^{48}<5^{72}\)

Ta có:

\(+\) \(3^{64}=\left(3^4\right)^{16}=81^{16}\)

\(+\) \(n^{48}=\left(n^3\right)^{16}\)

Vì \(3^{64}<n^{48}\) nên \(81^{16}<\left(n^3\right)^{16}\)

Mà \(4^3=64<81\) và \(5^3=125>81\) nên \(n\ge5\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(+\) \(n^{48}=\left(n^2\right)^{24}\)

\(+\) \(5^{72}=\left(5^3\right)^{24}=125^{24}\)

Vì \(n^{48}<5^{72}\) nên \(\left(n^2\right)^{24}<125^{24}\)

Mà \(11^2=121<125\) và \(12^2=144>125\) nên \(n\le11\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\) suy ra \(5\le n\le11\)

Mà n là số tự nhiên nên \(n\in\left\lbrace5;6;7;8;9;10;11\right\rbrace\)

\(364<n48<572\)

\(3^{\frac{64}{48}} < n < 5^{\frac{72}{48}}\)

\(3^{\frac{4}{3}} < n < 5^{\frac{3}{2}}\)

\(4,326 \ldots < n < 11,180 \ldots\)

\(n = 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11\)

Bạn không ghi là stn hay số nguyên nên mình ghi stn, mà sn thì không đúng nên mình ghi stn

Bạn không ghi là stn hay số nguyên nên mình ghi stn, mà sn thì không đúng nên mình ghi stn

3\(^{64}\) < n\(^{48}\) < 5\(^{72}\) ⇒ (3\(^8\))\(^8\) < (n\(^6\))\(^8\) < (5\(^9\))\(^8\) ⇒ 3\(^8\) < n\(^6\) < 5\(^9\) (1)

(1) xảy ra khi: \(\begin{cases}n^6>3^8\\ n^6<5^9\end{cases}\) ⇒ \(\begin{cases}\left(n^3\right)^2>\left(3^4\right)^2\\ \left(n^2\right)^3=\left(5^3\right)^3\end{cases}\) ⇒ \(\begin{cases}n^3>81\\ n^2<125\end{cases}\) (2)

Số lập phương nhỏ nhất lớn 81 là: 125 = 5\(^3\) (3)

Số chính phương lớn nhất nhỏ hơn 125: là 121 = 11\(^2\) (4)

Từ (2); (3); và (4) ta có: 5 ≤ n ≤ 11 mà n là số tự nhiên nên:

n ∈ {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}

Vậy n ∈ {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}