I) Hình bạn tự vẽ nha 

Ta có DY//BH ; YH//DB 

=> DYHB hình bình hành => DY = HB 

Tương tự được ZE = FC

mà \(\frac{BH}{BC}=1-\frac{HC}{BC}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\left(\Delta HIC\approx\Delta BAC;\frac{AB}{IH}=\sqrt{2}\right)\)(1)

Tương tự được \(\frac{FC}{BC}=1-\frac{BF}{BC}=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)(2) 

Từ (1) ; (2) => BH = FC hay DY = ZE 

Ta có x⁵+1=(x+1)(x⁴-x³+x²-x+1)+7

Vậy x⁵+8 chia cho x+1 dư 7

A B C M D

Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C dựng tam giác đều AMD ta có

\(\widehat{DAM}=\widehat{DAB}+\widehat{BAM}=60^o\Rightarrow\widehat{DAB}=60^o-\widehat{BAM}\)

\(\widehat{BAC}=\widehat{BAM}+\widehat{CAM}=60^o\Rightarrow\widehat{CAM}=60^o-\widehat{BAM}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAB}=\widehat{CAM}\)

Xét tg BAD và tg CAM có

\(\widehat{DAB}=\widehat{CAM}\left(cmt\right)\)

\(AD=AM\) (cạnh của tg đều ADM) (1)

\(AB=AC\) (cạnh của tg đều ABC)

\(\Rightarrow\Delta BAD=\Delta CAM\left(c.g.c\right)\Rightarrow CM=BD\)(1)

Theo đề bài ta có \(AM^2=BM^2+CM^2\) mà  \(AM=DM\) (cạnh của tg đều ADM) (2)

Thay các kết quả (1) và (2) vào biểu thức

\(\Rightarrow DM^2=BM^2+BD^2\) => Tg BDM vuông tại B (theo định lý pitago đảo) \(\Rightarrow\widehat{DBM}=90^o\)

Ta có \(\Delta BAD=\Delta CAM\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ACM}\)

\(\widehat{MCB}=60^o-\widehat{ACM}\)

\(\widehat{MBC}=60^o-\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}=180^o-\widehat{MCB}-\widehat{MBC}=180^o-60^o+\widehat{ACM}-60^o+\widehat{ABM}\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}=60+\widehat{ACM}+\widehat{ABM}\) mà \(\widehat{ACM}=\widehat{ABD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MBC}=60^o+\widehat{ABD}+\widehat{ABM}=60^o+\widehat{DBM}=60^o+90^o=150^o\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+1\ge2\sqrt{x}\\x+y\ge2\sqrt{xy}\\y+1\ge2\sqrt{y}\end{cases}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(2\left(x+y+1\right)\ge2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\Rightarrow x+y+1\ge\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+1=2\sqrt{x}\\x+y=2\sqrt{xy}\\y+1=2\sqrt{y}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=y\\y=1\end{cases}}\Rightarrow x=y=1\)

Khi đó \(S=x^{2013}+y^{2013}=1^{2013}+1^{2013}=1+1=2\)

AM - GM?????

Cô-si chứ

Khá phổ biến!

\(\sqrt{1+2016^2+\dfrac{2016^2}{2017^2}}+\dfrac{2016}{2017}=\sqrt{\left(2016+1\right)^2-2.2016+\dfrac{2016^2}{2017^2}}+\dfrac{2016}{2017}\) \(=\sqrt{2017^2-2.2016+\dfrac{2016^2}{2017^2}}+\dfrac{2016}{2017}=\sqrt{\left(2017-\dfrac{2016}{2017}\right)^2}+\dfrac{2016}{2017}\)

\(=2017-\dfrac{2016}{2017}+\dfrac{2016}{2017}=2017\)

Cho đường thẳng y = (k + 1)x + k.  (1)

a)                  (1) đi qua gốc tọa độ \(\Leftrightarrow0=\left(k+1\right).0+k\Leftrightarrow k=0\)

b)                 (1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1-\sqrt{2}\).\(\Rightarrow1-\sqrt{2}=\left(k+1\right).0+k\Leftrightarrow k=1-\sqrt{2}\)

c)                 để (1) song song với  đường thẳng \(y=\left(\sqrt{3}+1\right)x+3\). thì \(k+1=\sqrt{3}+1\Leftrightarrow k=\sqrt{3}\)