Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
@Ace Legona: sir tra hộ e câu này đúng hay sai đề vs ,nhẩm mãi không ra điểm rơi
Để ý đẳng thức : \(\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}+\dfrac{yz}{\left(z-x\right)\left(x-y\right)}+\dfrac{xz}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)}=\dfrac{xy\left(x-y\right)+yz\left(y-z\right)+xz\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=-\dfrac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=-1\)
Ta luôn có: \(\left(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}\right)^2\ge0\) ;\(\forall x;y;z\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{y^2}{\left(z-x\right)^2}+\dfrac{z^2}{\left(x-y\right)^2}\ge-2\sum\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}=2\)
(ĐPcm)
Dấu = xảy ra khi \(\dfrac{x}{y-z}+\dfrac{y}{z-x}+\dfrac{z}{x-y}=0\)
Thêm 1 ý tưởng đc buff từ cách trước :))
\(BDT\LeftrightarrowΣ\dfrac{x^2}{\left(y-z\right)^2}-2=\left(Σ\dfrac{x}{y-z}\right)^2-2Σ\dfrac{xy}{\left(y-z\right)\left(z-x\right)}-2\)
\(=\dfrac{\left(Σ\left(x^3-x^2y-x^2z+xyz\right)\right)^2}{\prod\left(x-y\right)^2}-2\dfrac{Σ\left(x^2y-x^2z\right)}{\prod\left(x-y\right)}-2\)
\(=\dfrac{\left(Σ\left(x^3-x^2y-x^2z+xyz\right)\right)^2}{\prod\left(x-y\right)^2}\ge0\)
Điều kiện là các số dương
\(VT=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-xyz\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-\frac{1}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(VT\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right).3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=VP\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
1. Theo BĐT AM - GM, ta có:
\(\Sigma\dfrac{1}{\left(2x+y+z\right)^2}=\Sigma\dfrac{1}{\left\{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)\right\}^2}\le\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
Do đó BĐT ban đầu sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\Sigma\dfrac{1}{4\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\dfrac{3}{16}\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{8}{3}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
Nhưng điều này đúng vì \(xy+yz+zx\ge\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=3\) và theo bổ đề bên trên. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
( Còn bài 2 để suy nghĩ rồi tối đăng cho nha )
x=y=z=0
ta có x+y+z=0
=> \(\left(x+y+z\right)^2=0\)
=> \(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)\right\rbrack^2\)
=> \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=4\left(xy+yz+zx\right)^2\)
xét biểu thức bên VP là A=\(\left(x^3y+y^3z+z^3x+xy^3+yz^3+zx^3\right)\)
=> \(A=\left(x^3y+xy^3\right)+\left(y^3z+yz^3\right)+\left(z^3x+zx^3\right)\)
\(A=xy\left(x^2+y^2\right)+yz\left(y^2+z^2\right)+zx\left(z^2+x^2\right)\)
từ \(x^2+y^2+z^2=-2\left(xy+yz+zx\right)\)
=> \(x^2+y^2=-2\left(xy+yz+zx\right)-z^2\)
\(y^2+z^2=-2\left(xy+yz+zx\right)-x^2\)
\(z^2+x^2=-2\left(xy+yz+zx\right)-y^2\)
thay lại vào A ta có:
\(A=xy\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)-z^2\right.]+yz\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)-x^2\right\rbrack+zx\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)-y^2\right\rbrack\) \(A=-2\left(xy+yz+zx\right)\left(xy+yz+zx\right)-\left(xyz^2+yzx^2+zxy^2\right)\)
\(A=-2\left(xy+yz+zx\right)^2-xyz\left(x+y+z\right)\)
thay x+y+z=0 vào ta có:
\(A=-2\left(xy+yz+zx\right)^2\)
nhân 3 với A để đủ VP
=> \(3A=2\left\lbrack-2\left(xy+yz+zx\right)^2\right\rbrack=-6\left(xy+yz+zx\right)^2\)
quay trở lại vấn đề ban đầu:
\(\Rightarrow VT-VP=4\left(xy+yz+zx\right)^2-\left\lbrack-6\left(xy+yz+zx\right)^2\right\rbrack\)
=> \(VT-VP=10\left(xy+yz+zx\right)^2\)
vì \(10\left(xy+xy+zx\right)^2\ge0\)
=> \(VT-VP\ge0\)
=> \(VT\ge VP\)
dấu"=" chỉ xảy ra và chỉ khi x=y=z=0