Hệ đẳng cấp. Xét 2 TH: x = 0 và x khác 0.

+) Th1: x = 0 ---> không thỏa mãn

+) Th2: x khác 0 

Đặt: y = ax; z = bx ( a; b > 0)

ta có hệ mới:

\(\hept{\begin{cases}x^2\left(a^2+b^2\right)=50\\x^2\left(1+a+\frac{a^2}{2}\right)=169\\x^2\left(1+b+\frac{b^2}{2}\right)=144\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2+b^2}{1+a+\frac{a^2}{2}}=\frac{50}{169}\\\frac{1+a+\frac{a^2}{2}}{1+b+\frac{b^2}{2}}=\frac{169}{144}\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}144a^2-50a-50+169b^2=0\\144a^2+288a-50-169b^2-338b=0\end{cases}}\)

Lấy vế dưới trừ vế trên ta có:

\(338a-338b^2-338b=0\) <=> \(a=b^2+b\)  Thế vào 1 trong 2 phương trình ta có:

\(144\left(b^2+b\right)^2-50\left(b^2+b\right)-50+169b^2=0\)

<=> \(144b^4+288b^3+263b^2-50b-50=0\)

<=> \(\left(144b^4-25b^2\right)+\left(288b^3-50b\right)+\left(288b-50\right)=0\)

<=> \(\left(144b^2-25\right)\left(b^2+2b+2\right)=0\)

<=> \(144b^2-25=0\)

<=> \(b=\pm\frac{5}{12}\)

+) Với \(b=\frac{5}{12}\)ta có: \(a=\frac{85}{144}\)

Do đó:  \(x^2\left[\left(\frac{5}{12}\right)^2+\left(\frac{85}{144}\right)^2\right]=50\)

<=> \(x^2=\frac{41472}{433}\)

=> \(K=xy+yz+zx=ax^2+bx^2+abx^2=x^2\left(a+b+ab\right)\) Em thay vào tính

+) Tương tự với b = -5/12

\(P=\frac{1}{xy-xyz-z}+\frac{1}{yz-xyz-x}+\frac{1}{xz-xzy-y}\)  .Do xyz=-z =>-xyz=1 và x+y+z=0 . Thế vào P ta được \(P=\frac{1}{xy+1+x+y}+\frac{1}{yz+1+y+z}+\frac{1}{xz+1+x+z}\)\(P=\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}+\frac{1}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}\) =\(\frac{z+1+x+1+y+1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\) 

\(P=\frac{3}{xyz+z+xz+yz+xy+1+x+y}\) =\(\frac{3}{xy+yz+xz}\) (Do x+y+z=0; xyz=-1)

x+y+z=0 => (x+y+z)²=0 => x²+y²+z² +2(xy+yz+xz)=0 => 2(xy+yz+xz)=-6 => xy+yz+xz=-3 Thế vào P ta được :

\(P=\frac{3}{-3}=-1\) . Chúc bạn học tốt

Hình như bạn ghi thiếu đề r . Còn xyz=-1 nữa 

https://goo.gl/BjYiDy

pt 1) x=y=z  Cosi 3 số 

bài 2 là tìm giá trị lớn nhất ạ!

ta có A>=0. xét 100=xy+z+xz\(\ge3\sqrt[3]{xy\cdot yz\cdot zx}\)

\(\Rightarrow100\ge3\sqrt[3]{A^2}\Rightarrow\left(\frac{100}{3}\right)^3\ge A^2\Rightarrow A< \frac{100}{3}\sqrt{\frac{100}{3}}\)

dấu đẳng thức xảy ra khi xy=yz=zx

Bài 1 nhìn vô đoán ngay a=3,b=2 -> S=13!

AM-GM:\(\frac{5}{9}\left(a^2+9\right)\ge\frac{10}{3}a;\text{ }\frac{4}{9}\left(a^2+\frac{9}{4}b^2\right)\ge\frac{4}{3}ab\)

\(\rightarrow a^2+b^2+5\ge\frac{10}{3}a+\frac{4}{3}ab\ge\frac{10}{3}\cdot3+\frac{4}{3}\cdot6=18\)

\(\Rightarrow S=a^2+b^2\ge13\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a=3, b=2.