Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1
\(A=\frac{2019^{2019}+1}{2019^{2020}+1}< \frac{2019^{2019}+1+2018}{2019^{2020}+1+2018}=\frac{2019^{2019}+2019}{2019^{2020}+2019}=\frac{2019\left(2019^{2018}+1\right)}{2019\left(2019^{2019}+1\right)}\)
\(=\frac{2019^{2018}+1}{2019^{2019}+1}\)
2
\(M=\frac{100^{101}+1}{100^{100}+1}< \frac{100^{101}+1+99}{100^{100}+1+99}=\frac{100^{101}+100}{100^{100}+100}=\frac{100\left(100^{100}+1\right)}{100\left(100^{99}+1\right)}\)
\(=\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}=N\)
M= \(\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}=\frac{100^{100}+100-99}{100^{99}+1}=\frac{100^{100}+100}{100^{99}+1}-\frac{99}{100^{99}+1}=\frac{100.\left(100^{99}+1\right)}{100^{99}+1}-\frac{99}{100^{99}+1}\)
\(=100-\frac{99}{100^{99}+1}\)
N= \(\frac{100^{101}+1}{100^{100}+1}=\frac{100^{101}+100-99}{100^{100}+1}=\frac{100^{101}+100}{100^{100}+1}-\frac{99}{100^{100}+1}\)
\(=\frac{100.\left(100^{100}+1\right)}{100^{100}+1}-\frac{99}{100^{100}+1}=100-\frac{99}{100^{100}+1}\)
Vi 100100+1>10099+1
=> \(\frac{99}{100^{99}+1}>\frac{99}{100^{100}+1}\)
=> \(100-\frac{99}{100^{99}+1}<100-\frac{99}{100^{100}+1}\)
=> M<N
a) Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a;b;m \(\in\) N*)
Ta có:
\(A=\frac{2008^{2008}+1}{2008^{2009}+1}< \frac{2008^{2008}+1+2007}{2009^{2009}+1+2007}\)
\(A< \frac{2008^{2008}+2008}{2008^{2009}+2008}\)
\(A< \frac{2008.\left(2008^{2007}+1\right)}{2008.\left(2008^{2008}+1\right)}=\frac{2008^{2007}+1}{2008^{2008}+1}=B\)
=> A < B
b) Áp dụng \(\frac{a}{b}>1\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+m}{b+m}\) (a;b;m \(\in\) N*)
Ta có:
\(N=\frac{100^{101}+1}{100^{100}+1}>\frac{100^{101}+1+99}{100^{100}+1+99}\)
\(N>\frac{100^{101}+100}{100^{100}+100}\)
\(N>\frac{100.\left(100^{100}+1\right)}{100.\left(100^{99}+1\right)}=\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}=M\)
=> M > N
Ta có:
\(M=\dfrac{100^{100}+1}{100^{99}+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{M}{100}=\dfrac{100^{100}+1}{100\cdot\left(100^{99}+1\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{M}{100}=\dfrac{100^{100}+1}{100^{100}+100}\)
\(\Rightarrow\dfrac{M}{100}=1-\dfrac{99}{100^{100}+100}\)
\(N=\dfrac{100^{101}+1}{100^{100}+1}\)
\(\Rightarrow\dfrac{N}{100}=\dfrac{100^{101}+1}{100\cdot\left(100^{100}+1\right)}\)
\(\Rightarrow\dfrac{N}{100}=\dfrac{100^{101}+1}{100^{101}+100}\)
\(\Rightarrow\dfrac{N}{100}=1-\dfrac{99}{100^{101}+100}\)
Mà: \(100^{101}>100^{100}\)
\(\Rightarrow100^{101}+100>100^{100}+100\)
\(\Rightarrow\dfrac{99}{100^{101}+100}< \dfrac{99}{100^{100}+100}\)
\(\Rightarrow1-\dfrac{99}{101^{101}+100}< 1-\dfrac{99}{100^{100}+100}\)
\(\Rightarrow\dfrac{N}{100}< \dfrac{M}{100}\)
\(\Rightarrow N< M\)
(10099+9999)100=10099x100+9999x100
(100100+99100)99=100100x99+99100x99
Vì100100x99+99100x99=10099x100+9999x100
=>M=N
Các bạn nhớ nha !!!
Có :
A=100100+1/10099+1
1/100.A=100100+1/100.(10099+1)
A/100=100100+1/100100+100
A/100=1-99/100100
B bạn cũng làm tương tự và sau đó bạn so sánh 99/100^100 Và 99/100^69 là Ok.
A; so sánh \(\frac{13^{15}+1}{13^{16}+1}\); \(\frac{13^{16}+1}{13^{17}+1}\)
\(\frac{13^{16}+1}{13^{17}+1}\) < \(\frac{13^6+\left(1+12\right)}{13^7+\left(1+12\right)}\) = \(\frac{13^{16}+13}{13^{17}+13}\) = \(\frac{13^{}.\left(13^{15}+1\right)}{13^{}.\left(13^{16}+1\right)}\)= \(\frac{13^{15}+1}{13^{16}+1}\)
Vậy \(\frac{13^{15}+1}{13^{16}+1}\)> \(\frac{13^{16}+1}{13^{17}+1}\)
Câu B:
\(\frac{1999^{2000}+1}{1999^{1999}+1}\) > \(\frac{1999^{2000}+\left(1+1998\right)}{1999^{1999}+\left(1+1998\right)}\) = \(\frac{1999^{2000}+1999}{1999^{1999}+1999}\) = \(\frac{1999.\left(1999^{1999}+1\right)}{1999.\left(1999^{1998}+1\right)}\)
\(\frac{1999.\left(1999^{1999}+1\right)}{1999.\left(1999^{1998}+1\right)}\) = \(\frac{1999^{1999}+1}{1999^{1998}+1}\)
Vậy
\(\frac{1999^{1999}+1}{1999^{1998}+1}\) < \(\frac{1999^{2000}+1}{1999^{1999}+1}\)
Bài 1: \(\left(\frac{-1}{16}\right)^{100}=\frac{1}{\left(2^4\right)^{100}}=\frac{1}{2^{400}}>\frac{1}{2^{500}}=\left(\frac{-1}{2}\right)^{500}.\)
Bài 2: \(100^{99}+1>100^{68}+1\Rightarrow\frac{1}{100^{99}+1}< \frac{1}{100^{68}+1}\Rightarrow\frac{-99}{100^{99}+1}>\frac{-99}{100^{68}+1}\)
\(\Rightarrow100+\frac{-99}{100^{99}+1}>100+\frac{-99}{100^{68}+1}\Rightarrow\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}>\frac{100^{69}+1}{100^{68}+1}\)
Ta có:
m = (100^100 + 1)/(100^99 + 1)
n = (100^101 + 1)/(100^100 + 1)
Nhận xét:
100^100 = 100 × 100^99
⇒ m = (100 × 100^99 + 1)/(100^99 + 1)
⇒ m < 100 (vì tử gần 100 × mẫu nhưng nhỏ hơn một chút)
Tương tự:
100^101 = 100 × 100^100
⇒ n = (100 × 100^100 + 1)/(100^100 + 1)
⇒ n > 100 (vì tử lớn hơn 100 × mẫu một chút)
⇒ m < 100 < n
Vậy: m < n
tôi không ai, tôi gõ nhanh lắm:
Dựa trên hình ảnh bạn cung cấp, bài toán yêu cầu so sánh \(m\) và \(n\) với:\(m=\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}\)
\(n=\frac{100^{101}+1}{100^{100}+1}\)
(Lưu ý: Dựa trên cấu trúc thông thường của dạng toán này, số "1006101" trong ảnh có thể là lỗi đánh máy của \(100^{101}\)). Giải chi tiết: Ta xét biểu thức \(m\):
\(m=\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}\)
Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{100}\):
\(\frac{1}{100}m=\frac{100^{100}+1}{100(100^{99}+1)}=\frac{100^{100}+1}{100^{100}+100}=\frac{(100^{100}+100)-99}{100^{100}+100}=1-\frac{99}{100^{100}+100}\) Tương tự, xét biểu thức \(n\):
\(n=\frac{100^{101}+1}{100^{100}+1}\)
Nhân cả hai vế với \(\frac{1}{100}\):
\(\frac{1}{100}n=\frac{100^{101}+1}{100(100^{100}+1)}=\frac{100^{101}+1}{100^{101}+100}=\frac{(100^{101}+100)-99}{100^{101}+100}=1-\frac{99}{100^{101}+100}\) So sánh:
- Vì \(100^{100} + 100 < 100^{101} + 100\)
- Nên \(\frac{99}{100^{100} + 100} > \frac{99}{100^{101} + 100}\)
- Do đó: \(1 - \frac{99}{100^{100} + 100} < 1 - \frac{99}{100^{101} + 100}\)
- Suy ra: \(\frac{1}{100}m < \frac{1}{100}n\)
Kết luận: \(m < n\)m>n
Ta có tính chất: với A > B > 0, ta luôn có:
A/B > A + c/B + c
Mà n = 100^101 + 1/100^100 + 1 > 1
Áp dụng tính chất trên vào biểu thức:
n > (100^101 + 1) + 99/ (100^100 + 1) + 99
n > 100^101 + 100/100^100 + 100
=> n = 100.(100^100 + 1)/100.(100^99 + 1)
n > 100^100 + 1/100^99 + 1
Vậy n > m hay m < n
nếu anh ko nhầm thì số 6 là em quên bấm shift thành ra là phải là ^ thế đúng ko nhỉ, anh làm theo bài toán của em đây
\(m=\frac{100^{100}+1}{100^{99}+1}\)
=> \(m-1=\frac{\left(100^{100}+1\right)}{100^{99}+1}-1\)
\(m-1=\frac{100^{100}+1-\left(100^{99}+1\right)}{100^{99}+1}\)
\(m-1=\frac{\left(100^{100}-100^{99}\right)}{100^{99}+1}\)
\(m-1=\frac{100^{99}\left(100-1\right)}{100^{99}+1}\)
\(m-1=\frac{99\cdot100^{99}}{100^{99}+1}\)
làm tương tự với n ta có:
\(\Rightarrow n-1=\frac{100^{101}+1}{100^{100}+1}-1\)
\(n-1=\frac{\left(100^{101}+1\right)-\left(100^{100}+1\right)}{100^{100}+1}\)
\(n-1=\frac{\left(100^{101}-100^{100}\right)}{100^{100}+1}\)
\(n-1=\frac{100^{100}\left(100-1\right)}{100^{100}+1}\)
\(n-1=\frac{99\cdot100^{100}}{100^{100}+1}\)
chia cả m và n cho 99
=> \(\frac{m-1}{99}=\frac{100^{99}}{100^{99}+1}=1-\frac{1}{100^{99}+1}\)
\(\frac{n-1}{99}=\frac{100^{100}}{100^{100}+1}=1-\frac{1}{100^{100}+1}\)
vì \(100^{100}+1>100^{99}+1\)
=> \(\frac{1}{100^{100}+1}<\frac{1}{100^{99}+1}\)
=> \(1-\frac{1}{100^{100}}>1-\frac{1}{100^{99}+1}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(n-1\right)}{99}>\frac{\left(m-1\right)}{99}\)
=> \(n-1>m-1\)
=> \(n>m\)
m = (100^100 + 1)/(100^99 + 1)
n = (100^101 + 1)/(100^100 + 1)
Ta có 100^100 + 1 > 100.(100^99 + 1) là sai vì vế trái = 100^100 + 1, vế phải = 100^100 + 100
nên m < 100
Tương tự, 100^101 + 1 > 100.(100^100 + 1) là sai vì vế trái = 100^101 + 1, vế phải = 100^101 + 100
nên n < 100
So sánh trực tiếp:
m - n = (100^100 + 1)/(100^99 + 1) - (100^101 + 1)/(100^100 + 1)
Quy đồng, tử số = (100^100 + 1)^2 - (100^101 + 1)(100^99 + 1)
= 100^200 + 2.100^100 + 1 - (100^200 + 100^101 + 100^99 + 1)
= 2.100^100 - 100^101 - 100^99
= 100^99(200 - 10000 - 1) < 0
Vậy m < n, vì m - n < 0.