Để M nguyên thì x-1⋮-4x+6

=>4x-4⋮4x-6

=>4x-6+2⋮4x-6

=>2⋮4x-6

mà 4x-6 chẵn

nên 4x-6∈{2;-2}

=>4x∈{8;4}

=>x∈{2;1}

Để biểu thức $M = \frac{x-1}{6-4x}$ nhận giá trị nguyên ($x \in \mathbb{Z}$), ta có: $M = \frac{x-1}{6-4x}$

Để $M$ nhận giá trị nguyên thì $2M$ cũng phải nhận giá trị nguyên:

$2M = 2 \cdot \frac{x-1}{6-4x} = \frac{2x-2}{6-4x}$

$2M = \frac{-4x+4}{6-4x} = \frac{(6-4x)-2}{6-4x} = 1 - \frac{2}{6-4x}$

Để $2M$ là số nguyên thì $\frac{2}{6-4x}$ phải là số nguyên, hay $6-4x$ phải là ước của $2$.

Ư($2$) = $\{-2; -1; 1; 2\}$.

Ta có các trường hợp sau:

1, $6-4x = -2 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$ (thỏa mãn $x \in \mathbb{Z}$).

Thử lại: $M = \frac{2-1}{6-4 \cdot 2} = \frac{1}{-2} = -0,5$ (không là số nguyên, loại).

2, $6-4x = -1 \Rightarrow 4x = 7 \Rightarrow x = 1,75$ (không thỏa mãn $x \in \mathbb{Z}$, loại).

3, $6-4x = 1 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x = 1,25$ (không thỏa mãn $x \in \mathbb{Z}$, loại).

4, $6-4x = 2 \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1$ (thỏa mãn $x \in \mathbb{Z}$).

Thử lại: $M = \frac{1-1}{6-4 \cdot 1} = \frac{0}{2} = 0$ (là số nguyên, nhận).

Vậy giá trị nguyên của $x$ cần tìm là $x = 1$.

ĐKXĐ: 6-4x≠0

=> \(4x\) ≠6( luôn đúng với mọi x)

ta nhân 4 với biểu thức M như sau:

\(4\cdot M=\frac{4\left(x-1\right)}{6-4x}=\frac{4x-4}{6-4x}\)

\(4\cdot M=\frac{-6\left(6-4x\right)+6-4}{6-4x}\)

\(4\cdot M=\frac{-6\left(6-4x\right)+2}{6-4x}\)

\(4\cdot M=-1+\frac{2}{6-4x}\)

để M nguyên thì 4 x M phải là số nguyên

=> (6-4x)ϵ Ư(2)

=>(6-4x)∈{1;-1;2;-2}

lập bảng giá trị của x ta có:

với x=1 ta có M=\(\frac{\left(1-1\right)}{6\cdot4-1}=\frac02=0\left(TM\right)\)

với x=2 ta có M=\(\frac{\left(2-1\right)}{6\cdot4-1}=-\frac12\) ( loại)

vậy chỉ có số nguyên x duy nhất thỏa mãn đề bài là 1