\(\sqrt[n]{y}=4x+1\)

\(y^{\dfrac{1}{n}}=4x+1\)

đạo cấp 1

\(\dfrac{1}{n}y^{\left(\dfrac{1}{n}-1\right)}=\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{y^{\left(1-n\right)}}=4\)

thay y=(4x+1)^n vào

\(\dfrac{1}{n}\sqrt[n]{\left(4x+1\right)^{n\left(1-n\right)}}=\dfrac{1}{n}\left(4x+1\right)^{\left(1-n\right)}\)

từ đó: \(y'=\dfrac{4}{\dfrac{1}{n}\left(4x+1\right)^{\left(1-n\right)}}=4.n\left(4x+1\right)^{n-1}\)

Có đúng không: cấp n có thể phải làm lấy vài cái--> quy luật nào đó

a) Với \({x_0}\) bất kì, ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{{x^3} - x_0^3}}{{x - {x_0}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2} + x{x_0} + x_0^2} \right) = 3x_0^2\)

Vậy hàm số \(y = {x^3}\) có đạo hàm là hàm số \(y' = 3{x^2}\)

b) \(y' = \left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\)

\(x'\cdot\left(x+2\right)^3+x\left[\left(x+2\right)^3\right]'\)

\(=1\cdot\left(x+2\right)^3+x\cdot3\left(x+2\right)^2+\left(x+2\right)'\)

\(=\left(x+2\right)^3+3x\left(x+2\right)^2\)

\(=\left(x+2\right)^2\left(4x+2\right)\)

Ta xét bảng sau đây :

x 1 2 x-1 2 x-2 f(x) 1-x 4-2x 5-3x x-1 4-2x 3-x x-1 2x-4 3x-5

Ta có ngay với \(x\ne1\) và \(x\ne2\)

\(f'\left(x\right)=\begin{cases}-3;x< 1\\-1;1< x< 2\\3;x>2\end{cases}\)

Bây giờ xét tại \(x=1\), ta có

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{3-\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1\)

\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{5-3\left(1+\Delta x\right)-2}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{-3\Delta x}{\Delta x}=-3\)

Như vậy \(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^+}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\ne\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^-}\frac{f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)}{\Delta x}\)

Nghĩa là không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=1\)

Tương tự không tồn tại đạo hàm của \(f\left(x\right)\) tại \(x=2\)

xét hàm số y=\(x.e^x.lnx\)

Ta có y' =\(e^xlnx+xe^xlnx+xe^x.\frac{1}{x}\)

             =\(e^xlnx+xe^xlnx+e^x\left(1+lnx+x.lnx\right)\)

xét hàm số y=\(\sqrt{x+\sqrt{x}}+\sqrt{x}\) . ta có

y'=\(\frac{\left(x+\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

=\(\frac{1+2\sqrt{x}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1+2\sqrt{x}+2\sqrt{x+\sqrt{x}}}{4\sqrt{x}\sqrt{x+\sqrt{x}}}\)

\(y'=\frac{\frac{2}{2x-1}.\sqrt{2x-1}-\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\ln\left(2x-1\right)}{2x-1}=\frac{2-\ln\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}}\)

xét hàm số y=ln(\(x+\sqrt{1+x^2}\))

Ta có

y'=\(\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}.\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

\(y'=\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)^2-\left(e^x-e^{-x}\right)^2}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}=\frac{4}{\left(e^x+e^{-x}\right)^2}\)