Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
A B C H F D E K L
+) Chứng minh tứ giác BFLK nội tiếp:
Ta thấy FAH và LAH là hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AH nên AFHL là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{ALF}=\widehat{AHF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
Lại có \(\widehat{AHF}=\widehat{FBK}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{FAH}\) )
Vậy nên \(\widehat{ALF}=\widehat{FBK}\), suy ra tứ giác BFLK nội tiếp (Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện)
+) Chứng minh tứ giác CELK nội tiếp:
Hoàn toàn tương tự : Tứ giác AELH nội tiếp nên \(\widehat{ALE}=\widehat{AHE}\) , mà \(\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{ALE}=\widehat{ACD}\)
Suy ra tứ giác CELK nội tiếp.
A B C F E D H K M N I
Gọi I là giao điểm còn lại của đường tròn ngoại tiếp tam giác BKF và đường tròn ngoại tiếp tam giác CEK (Kí hiệu lần lượt là (BKF) và (CEK)).
Ta chứng minh được \(\Delta AEF\sim\Delta ABC\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow AE.AC=AF.AB\)
\(\Delta AEH\sim\Delta ADC\Rightarrow\frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AE.AC=AH.AD\)
Vậy nên \(AE.AC=AF.AB=AH.AD\)
Từ đó suy ra A thuộc trục đẳng phương của (BKF) và (CEK).
Vậy thì A, I, K thẳng hàng.
Từ đó, ta có: \(AI.AK=AH.AD\Rightarrow\widehat{HIK}=\widehat{ADK}=90^o\)
Lại có KM, KN là các đường kính của (BKF) và (CEK) nên \(\widehat{MIK}=\widehat{NIK}=90^o\)
Vậy nên M, H, N thẳng hàng.
a) Xét tứ giác BCEF có
\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)
nên BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là trung điểm của BC
bạn tham khảo ở đây nha,bài này mình từng làm rồi
https://hoc24.vn/cau-hoi/881cho-tam-giac-abc-nhon-noi-tiep-duong-tron-o-cac-duong-cao-adbecf-cat-nhau-tai-ha-chung-minh-tu-giac-bcef-noi-tiep-va-xac-dinh-tam-i-cua-duong-tron-ngoai-tiep-tu-giacb-duong-thang-ef-cat-duon.1092906662181
Ta có:
Vì KM là đường kính nên:
∠KBM = 90°
⇒ BM ⟂ BC
Vì KN là đường kính nên:
∠KCN = 90°
⇒ CN ⟂ BC
Mà AD ⟂ BC nên:
BM ∥ AD ∥ CN (1)
Xét ΔMBF và ΔKCF:
∠MBF = 90° − ∠ABC
Trong ΔBCF vuông tại F:
∠KCF = ∠BCF = 90° − ∠ABC
⇒ ∠MBF = ∠KCF
Lại có:
∠MFB = ∠KFC
⇒ ΔMBF ∼ ΔKCF
Suy ra:
MB / KC = BF / CF
⇒ MB·CF = KC·BF (2)
Xét ΔBFC và ΔBDA:
∠BFC = ∠BDA = 90°
∠CBF = ∠ABD
⇒ ΔBFC ∼ ΔBDA
Suy ra:
BF / CF = BD / AD
⇒ BF·AD = CF·BD (3)
Từ (2) và (3):
MB·AD = KC·BD
⇒ MB = KC·BD / AD (4)
Tương tự:
ΔNCE ∼ ΔKBE
⇒ NC·BE = BK·CE (5)
Lại có:
ΔCEB ∼ ΔCDA
⇒ CE·AD = BE·CD (6)
Từ (5), (6):
NC·AD = BK·CD
⇒ NC = BK·CD / AD (7)
Xét ΔBDH và ΔADC:
∠BDH = ∠ADC = 90°
∠BHD = ∠ACD
⇒ ΔBDH ∼ ΔADC
Suy ra:
BD / AD = HD / CD
⇒ HD = BD·CD / AD (8)
Từ (4), (7), (8):
MB·CD + NC·BD
= KC·BD·CD/AD + BK·CD·BD/AD
= BD·CD(KC + BK)/AD
Mà:
KC + BK = BC
nên:
MB·CD + NC·BD = BC·HD
Do BM ∥ HD ∥ CN nên theo định lí Thales đảo:
M, H, N thẳng hàng.