a) ab+ ba \(⋮\)11

= a.10 + b + b.10+a

= ( 10a+ a) + ( 10b+b)

= 11a + 11b

=11 (a+b)

Vì 11 \(⋮\)11 nên 11(a+b) \(⋮\)11

Vậy...

a: \(\Leftrightarrow3n+3+7⋮n+1\)

\(\Leftrightarrow n+1\in\left\{1;-1;7;-7\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;6\right\}\)

b: \(\Leftrightarrow n+2+5⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay n=3

c: \(\Leftrightarrow n+2+10⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\in\left\{1;-1;2;-2;5;-5;10;-10\right\}\)

hay \(n\in\left\{0;3;8\right\}\)

d: \(\Leftrightarrow2n-2+5⋮n-1\)

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;6\right\}\)

Bài 1:

ta tách lại biểu thức như sau:

\(A=\frac{\left(a^3+2a^2-1\right)}{a^3+2a^2+2a+1}=\frac{\left(a^2\left(a+1\right)+\left(a-1\right)\left(a+1\right)\right)}{a^3+2a^2+2a+1}\)

\(=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a^3+1\right)+\left(2a^2+2a\right)}\)

\(=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)+2a\left(a+1\right)}\)

\(=\frac{\left(a+1\right)\left(a^2+a-1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}=\frac{\left(a^2+a-1\right)}{a^2+a+1}\)

bài 2:

vì \(\left.\overline{abc}\right\vert\) và \(\overline{cba}\) là các số tự nhiên có 3 chữ số

=> \(100\le\overline{cba}\le999\)

=> \(100\le\left(n-2\right)^2\le999\)

vì \(10^2=100\) và \(31^2=961\)

=> \(10\le n-2\le31\)

=> \(12\le n\le33\)

ta lại có: \(100\le\overline{abc}\le999\)

\(\Rightarrow100\le n^2-1\le999\)

=> \(101\le n^2\le1000\)

vì \(10^2=100\) và \(31^2=961\)

=> \(11\le n\le31\)

vậy từ hai điều trên ta suy ra

\(12\le n\le31\)

ta có:

\(\overline{abc}-\overline{cba}=\left(n^2-1\right)-\left(n-2\right)^2\)

\(\left(100a+10b+c\right)-\left(100c+10b+a\right)=\left(n^2-1\right)-\left(n-2\right)\left(n-2\right)\)

\(\left(100a+10b+c\right)-\left(100c+10b+a\right)=\left(n^2-1\right)-\left(n^2-4n+4\right)\)

=> \(99\left(a-c\right)=4n-5\)

=> 4n-5⋮99

với n=12

=> 4.12-5=43

với n=31

=> 4*31-5=119

từ 43 đến 119 chỉ có duy nhất 99 chia hết cho 4n-5

=> 4n-5=99

4n=104

=>n=26

=> \(\overline{abc}=26^2-1=675\)

đảo ngược lại là: \(\overline{cba}=576\)

vậy số cần tìm là 675

bài 3:

gọi số chính phương cần tim là \(k^2\) ( k ∈ N, k>n)

=> \(n^2+2016=k^2\)

=> \(k^2-n^2=2016\)

\(\left(k-n\right)\left(k+n\right)=2016\)

vì (k-n)+(k+n)=2k là một số chẵn mà lại có tích của chúng là số chẵn

=> k-n và k+n phải là số chẵn

đặt k-n=2x và k+n=2y với x,y ∈N, x<y

=> \(2x\cdot2y=2016\Rightarrow4xy=2016\Rightarrow xy=504\)

đồng thời ta có: \(\left(k+n\right)-\left(k-n\right)=2n\Rightarrow2y-2x=2n\Rightarrow n=y-x\)

ta lập bảng thử các giá trị x;y là các số tự nhiên

21 24 3

xin lỗi bạn bài 3 mik đặt thông số bảng sai nên vt thế này

Câu 5

Nếu p lẻ thì 3p lẻ nên 3p+7 chẵn,mà 3p+7 lầ số nguyên tố

Suy ra 3p+7=2(L)

Khí đó p chẵn,mà p là số nguyên tố nên p=2

Vậy p=2

Câu 3

Ta có:\(\overline{ab}-\overline{ba}=9\times\left(a-b\right)=3^2\times\left(a-b\right)\)

Mà ab-ba là số chính phương nên 3^2X(a-b) là số chính phương

Suy ra a-b là số chính phương

Mà 0<a-b<9 nên \(a-b\in\left\{1;4\right\}\)

Với a-b=1 mà 0<b<a nên ta có bảng sau:

Với a-b=4 mà a>b>0 nên ta có bảng sau:

Vậy ..............

để A là số nguyên tố thì phải đảm bảo A thuộc N

để A thuộc N

=> 2n + 8  chia hết cho n + 1

=> 2.(n + 1) + 6 chia hết cho  n+ 1

=> 6  chia hết cho n +1

=> n+ 1 \(\in\) Ư(6 ) = {1;2;3;6}

=> n+1 =1   =>  n = 0

      n+1 = 2   => n = 1 (snt)

      n+1 =3  =>  n = 2 (sgt)

      n + 1 = 6 => n = 5  (snt)

=> n = {1;2;5}