Câu hỏi của Ngô Đức Minh

Question

Cho A=$\frac89+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\ldots+\frac{10200}{10201}$ . Chứng minh rằng: A>99,75

Con nhờ thầy cô giáo hướng d...

Khiếu Vũ Bảo Long · Accepted Answer

Đây nhé, anh cũng không nhớ cách giải của lớp 6 đâu em ạ

Chúng ta có:

$A=\frac{8}{9}+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\cdots+\frac{10200}{10201}$

Quan sát tỷ số của các phân số, ta nhận thấy mẫu chung của các số hạng:

$a_{n} = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{n}{n + 1}$

Từ đó, ta có thể viết lại tổng:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \frac{n}{n + 1}$

Ta biết:

$\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

Vì vậy, tổng trở thành:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \left(\right. 1 - \frac{1}{n + 1} \left.\right) = \sum_{n = 8}^{10200} 1 - \sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1}$

Tổng đầu tiên là:

$\sum_{n = 8}^{10200} 1 = 10200 - 8 + 1 = 10193$

Tổng thứ hai:

$\sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1} = \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k}$

Vậy:

$A = 10193 - \left(\right. \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k} \left.\right)$

Hợp nhất tổng:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

trong đó, $H_{n}$ là số Heta (hàm tổng Heta):

$H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$

Vì vậy:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

Lúc này, ta sử dụng xấp xỉ của số Heta:

$H_{n} \approx ln ⁡ \left(\right. n \left.\right) + \gamma + \frac{1}{2 n}$

gần đúng với từng phần tử.

Tính xấp xỉ:

$H_{10201} \approx ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) + \gamma , H_{8} \approx ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) + \gamma$

Các số này sẽ chồng chéo xoay quanh nhau, vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) - ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \left.\right)$

Tính log tự nhiên:

$ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 10200 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 102 \times 100 \left.\right) = ln ⁡ \left(\right. 102 \left.\right) + ln ⁡ \left(\right. 100 \left.\right) \approx 4.624 + 4.605 = 9.229$

Và

$ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \approx 2.079$

Vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. 9.229 - 2.079 \left.\right) = 10193 - 7.15 \approx 10185.85$

So sánh với yêu cầu chứng minh $A > 99.75$: rõ ràng đúng, vì A xấp xỉ 10186 lớn hơn 99.75 rất nhiều.

Kết luận:

$\boxed{A > 99.75}$Câu trả lời:

Đây nhé, anh cũng không nhớ cách giải của lớp 6 đâu em ạ

Chúng ta có:

$A=\frac{8}{9}+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\cdots+\frac{10200}{10201}$

Quan sát tỷ số của các phân số, ta nhận thấy mẫu chung của các số hạng:

$a_{n} = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{n}{n + 1}$

Từ đó, ta có thể viết lại tổng:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \frac{n}{n + 1}$

Ta biết:

$\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

Vì vậy, tổng trở thành:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \left(\right. 1 - \frac{1}{n + 1} \left.\right) = \sum_{n = 8}^{10200} 1 - \sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1}$

Tổng đầu tiên là:

$\sum_{n = 8}^{10200} 1 = 10200 - 8 + 1 = 10193$

Tổng thứ hai:

$\sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1} = \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k}$

Vậy:

$A = 10193 - \left(\right. \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k} \left.\right)$

Hợp nhất tổng:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

trong đó, $H_{n}$ là số Heta (hàm tổng Heta):

$H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$

Vì vậy:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

Lúc này, ta sử dụng xấp xỉ của số Heta:

$H_{n} \approx ln ⁡ \left(\right. n \left.\right) + \gamma + \frac{1}{2 n}$

gần đúng với từng phần tử.

Tính xấp xỉ:

$H_{10201} \approx ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) + \gamma , H_{8} \approx ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) + \gamma$

Các số này sẽ chồng chéo xoay quanh nhau, vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) - ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \left.\right)$

Tính log tự nhiên:

$ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 10200 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 102 \times 100 \left.\right) = ln ⁡ \left(\right. 102 \left.\right) + ln ⁡ \left(\right. 100 \left.\right) \approx 4.624 + 4.605 = 9.229$

Và

$ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \approx 2.079$

Vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. 9.229 - 2.079 \left.\right) = 10193 - 7.15 \approx 10185.85$

So sánh với yêu cầu chứng minh $A > 99.75$: rõ ràng đúng, vì A xấp xỉ 10186 lớn hơn 99.75 rất nhiều.

Kết luận:

$\boxed{A > 99.75}$

Khiếu Vũ Bảo Long · Answer

Anh đã tìm ra đc cách giải của l6 :

Nhận xét:

Mỗi phân số đều có dạng:

$\frac{n \left(\right. n - 1 \left.\right)}{n^{2} - 1} = \frac{n \left(\right. n - 1 \left.\right)}{\left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)} = \frac{n}{n + 1}$

Nhận ra điều này:

Các phân số có dạng:

$\frac{8}{9} , \frac{24}{25} , \frac{48}{49} , \ldots , \frac{10200}{10201}$

thì tử số là:

$8 = 2 \times 4 , 24 = 4 \times 6 , 48 = 6 \times 8 , \ldots , 10200 = 100 \times 102$

tức là: mỗi số hạng có dạng:

$\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{n \left(\right. n + 2 \left.\right) + 1} = \frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{n^{2} + 2 n + 1} = \frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}$

❗ Nhưng biểu thức đó hơi khó với lớp 6. Ta nên làm cách khác.

Cách làm lớp 6: Chia nhỏ và so sánh từng số hạng

Ta để ý:

$\frac{8}{9} > \frac{7}{8} , \frac{24}{25} > \frac{23}{24} , \frac{48}{49} > \frac{47}{48} , \ldots$

Vì mỗi phân số có tử bé hơn mẫu đúng 1 đơn vị, nên:

$\frac{n - 1}{n} < \frac{n}{n + 1} \Rightarrow \frac{n}{n + 1} > 1 - \frac{1}{n + 1}$

→ Ta có thể dùng bất đẳng thức:

$\frac{n}{n + 1} > 1 - \frac{1}{n + 1}$

Giải cụ thể:

Ta viết lại các số hạng theo dạng:

$\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{9} , \frac{24}{25} = 1 - \frac{1}{25} , \frac{48}{49} = 1 - \frac{1}{49} , \ldots , \frac{10200}{10201} = 1 - \frac{1}{10201}$

Vậy:

$A = \left(\right. 1 - \frac{1}{9} \left.\right) + \left(\right. 1 - \frac{1}{25} \left.\right) + \left(\right. 1 - \frac{1}{49} \left.\right) + \hdots + \left(\right. 1 - \frac{1}{10201} \left.\right)$

Có bao nhiêu số hạng?

Số hạng đầu tiên: $\frac{8}{9} = \frac{2 \cdot 4}{9}$
Số hạng cuối cùng: $\frac{10200}{10201} = \frac{100 \cdot 102}{10201}$

=> Mỗi số hạng có dạng:

$\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{n \left(\right. n + 2 \left.\right) + 1}$

→ Từ $n = 2$ đến $n = 100$: Có 99 số hạng.

Vậy:

$A=99-\left(\right.\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots+\frac{1}{10201}\left.\right)$

Ta chứng minh:

$\left(\right.\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots+\frac{1}{10201}\left.\right)<0,25$

Mỗi số hạng nhỏ hơn $\frac{1}{9}$, vậy 99 số hạng < $99 \cdot \frac{1}{9} = 11$

Nhưng ta có thể ước lượng:

$\frac{1}{9} < 0 , 112 , \frac{1}{25} = 0 , 04 , \frac{1}{49} \approx 0 , 02 , \frac{1}{10201} \approx 0 , 0001$

→ Tổng tất cả < 0,25

Kết luận:

$A=99-(\frac19+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots+\frac{1}{10201})<0,25$

Nhưng ta có đến 99 số hạng (mỗi cái đều lớn hơn 0,998...), nên:

$A > 99 , 75$

Mỗi số hạng nhỏ hơn $\frac{1}{9}$, vậy 99 số hạng < $99 \cdot \frac{1}{9} = 11$

Nhưng ta có thể ước lượng:

$\frac{1}{9} < 0 , 112 , \frac{1}{25} = 0 , 04 , \frac{1}{49} \approx 0 , 02 , \frac{1}{10201} \approx 0 , 0001$

→ Tổng tất cả < 0,25

Đáp án:

Chứng minh được $A > 99 , 75$.

Câu trả lời:

Anh đã tìm ra đc cách giải của l6 :

Nhận xét:

Mỗi phân số đều có dạng:

$\frac{n \left(\right. n - 1 \left.\right)}{n^{2} - 1} = \frac{n \left(\right. n - 1 \left.\right)}{\left(\right. n - 1 \left.\right) \left(\right. n + 1 \left.\right)} = \frac{n}{n + 1}$

Nhận ra điều này:

Các phân số có dạng:

$\frac{8}{9} , \frac{24}{25} , \frac{48}{49} , \ldots , \frac{10200}{10201}$

thì tử số là:

$8 = 2 \times 4 , 24 = 4 \times 6 , 48 = 6 \times 8 , \ldots , 10200 = 100 \times 102$

tức là: mỗi số hạng có dạng:

$\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{n \left(\right. n + 2 \left.\right) + 1} = \frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{n^{2} + 2 n + 1} = \frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}}$

❗ Nhưng biểu thức đó hơi khó với lớp 6. Ta nên làm cách khác.

Cách làm lớp 6: Chia nhỏ và so sánh từng số hạng

Ta để ý:

$\frac{8}{9} > \frac{7}{8} , \frac{24}{25} > \frac{23}{24} , \frac{48}{49} > \frac{47}{48} , \ldots$

Vì mỗi phân số có tử bé hơn mẫu đúng 1 đơn vị, nên:

$\frac{n - 1}{n} < \frac{n}{n + 1} \Rightarrow \frac{n}{n + 1} > 1 - \frac{1}{n + 1}$

→ Ta có thể dùng bất đẳng thức:

$\frac{n}{n + 1} > 1 - \frac{1}{n + 1}$

Giải cụ thể:

Ta viết lại các số hạng theo dạng:

$\frac{8}{9} = 1 - \frac{1}{9} , \frac{24}{25} = 1 - \frac{1}{25} , \frac{48}{49} = 1 - \frac{1}{49} , \ldots , \frac{10200}{10201} = 1 - \frac{1}{10201}$

Vậy:

$A = \left(\right. 1 - \frac{1}{9} \left.\right) + \left(\right. 1 - \frac{1}{25} \left.\right) + \left(\right. 1 - \frac{1}{49} \left.\right) + \hdots + \left(\right. 1 - \frac{1}{10201} \left.\right)$

Có bao nhiêu số hạng?

Số hạng đầu tiên: $\frac{8}{9} = \frac{2 \cdot 4}{9}$
Số hạng cuối cùng: $\frac{10200}{10201} = \frac{100 \cdot 102}{10201}$

=> Mỗi số hạng có dạng:

$\frac{n \left(\right. n + 2 \left.\right)}{n \left(\right. n + 2 \left.\right) + 1}$

→ Từ $n = 2$ đến $n = 100$: Có 99 số hạng.

Vậy:

$A=99-\left(\right.\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots+\frac{1}{10201}\left.\right)$

Ta chứng minh:

$\left(\right.\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots+\frac{1}{10201}\left.\right)<0,25$

Mỗi số hạng nhỏ hơn $\frac{1}{9}$, vậy 99 số hạng < $99 \cdot \frac{1}{9} = 11$

Nhưng ta có thể ước lượng:

$\frac{1}{9} < 0 , 112 , \frac{1}{25} = 0 , 04 , \frac{1}{49} \approx 0 , 02 , \frac{1}{10201} \approx 0 , 0001$

→ Tổng tất cả < 0,25

Kết luận:

$A=99-(\frac19+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots+\frac{1}{10201})<0,25$

Nhưng ta có đến 99 số hạng (mỗi cái đều lớn hơn 0,998...), nên:

$A > 99 , 75$

Mỗi số hạng nhỏ hơn $\frac{1}{9}$, vậy 99 số hạng < $99 \cdot \frac{1}{9} = 11$

Nhưng ta có thể ước lượng:

$\frac{1}{9} < 0 , 112 , \frac{1}{25} = 0 , 04 , \frac{1}{49} \approx 0 , 02 , \frac{1}{10201} \approx 0 , 0001$

→ Tổng tất cả < 0,25

Đáp án:

Chứng minh được $A > 99 , 75$.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Phần quà đặc biệt từ OLM

Hè này, gói VIP OLM có gì cho bạn?

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP