Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $x^2-mx+m^2-m-3=0$ có hai nghiệm $x_1, \, x

Thầy Cao Đô

Giáo viên VIP

11 tháng 12 2024 - olm

Tìm các giá trị của $m$ để phương trình $x^2-mx+m^2-m-3=0$ có hai nghiệm $x_1, \, x_2$ là độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông $ABC$, biết độ dài cạnh huyền $BC=2$.

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9

Nguyễn Lê Phước Thịnh

CTVHS

11 tháng 12 2024

$\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\left(m^2-m-3\right)$

$=m^2-4m^2+4m+12=-3m^2+4m+12$

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>$-3m^2+4m+12>=0$

=>$3m^2-4m-12< =0$

=>$\dfrac{2-2\sqrt{10}}{3}< =m< =\dfrac{2+2\sqrt{10}}{3}$

Theo Vi-et, ta có:

$\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-m-3\end{matrix}\right.$

$x_1;x_2$ là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền là 2 nên ta có:

$x_1^2+x_2^2=2^2$

=>$\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2^2$

=>$m^2-2\left(m^2-m-3\right)=4$

=>$m^2-2m^2+2m+6=4$

=>$-m^2+2m+2=0$

=>$m^2-2m-2=0$

=>$m^2-2m+1-3=0$

=>$\left(m-1\right)^2-3=0$

=>$\left[{}\begin{matrix}m-1=\sqrt{3}\\m-1=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{3}+1\left(nhận\right)\\m=-\sqrt{3}+1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.$

Đúng(2)