Quay lại giao diện cũ
Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện liên quan giá trị nhỏ nhất, lớn nhất
Tìm $m$ để phương trình $x^2-2(m+1)x+m^2+1=0$ có nghiệm $x_1; \, x_2$ sao cho biểu thức: $A=x_1(x_1-x_2)+x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Phương trình có nghiệm khi $\Delta '=2m \ge 0$ hay $m\ge 0$.
Khi đó theo định lí Viète, ta có:
$x_1+x_2=2(m+1)$; $x_1.x_2=m^2+1$
Suy ra $A=x_{1}^2+x_2^2-x_1x_2=(x_1+x_2)^2-3x_1x_2=4(m+1)^2-3(m^2+1)=m^2+8m+1\ge 1$ với mọi $m\ge 0$.
Vậy $m=0$.
Gọi $x_1; \, x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-2(m-3)x-6m-7=0$ với $m$ là tham số. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C=(x_1+x_2)^2+8x_1x_2$.
Hướng dẫn giải
Phương trình $x^2-2(m-3)x-6m-7=0$ có $\Delta'=(m-3)^2+6m+7=m^2+16>0$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.
Suy ra phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$.
Theo định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=2m-6 \\ & x_1.x_2=-6m-7 \\ \end{aligned} \right.$.
Ta có $C=(x_1+x_2)^2+8x_1x_2$
$=(2m-6)^2+8(-6m-7)$
$=4m^2-24m+36-48m-56$
$=4m^2-72m-20$
$=4(m^2-18m+81)-4.81-20$
$=4(m-9)^2-344 \ge -344,$ với mọi $m \in \mathbb{R}$ (vì $4(m-9)^2 \ge 0,\forall m\in \mathbb{R}$)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m-9=0$ hay $m=9$.
Vậy GTNN của $C$ là $-344$ đạt tại $m=9$.
Cho phương trình $x^2+(m-2)x-8=0$ (1), với $m$ là tham số.
a) Giải phương trình (1) khi $m=4$.
b) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1; \, x_2$ sao cho biểu thức $Q=(x_{1}^2-1)(x_2^2-1)$ đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Giải phương trình (1) khi $m=4$.
Thay $m=4$ vào phương trình (1) ta được: $x^2+2x-8=0$
Ta có: $\Delta'=1+8=9=3^2>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$x_1=-1+\sqrt{9}=2; \, x_2=-1-\sqrt{9}=-4$.
Vậy phương trình có nghiệm $x_1=2; \, x_2=-4$.
b) Phương trình (1) có: $\Delta =(m-2)^2+32>0$ với mọi $m$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$.
Khi đó theo Viète ta có: $x_1+x_2=-m+2; \, x_1x_2=-8$
Ta có: $Q=(x_1^2-1)(x_2^2-1)$
$=x_{1}^2x_2^2-(x_{1}^2+x_2^2)+1$
$=x_{1}^2x_2^2-{{(x_1+x_2)}^2}+2x_1x_2+1$
$=64-{{(-m+2)}^2}-16+1=-{{(-m+2)}^2}+49 \le 49$ với mọi $m$.
Vậy GTLN của $Q$ bằng $49$.
Dấu "=" xảy ra khi $m=2$.
Vậy giá trị lớn nhất của $Q$ bằng $49$ đạt được khi $m=2$.
Cho phương trình (ẩn $x$): $x^2-2mx+2m-1=0$.
a) Giải phương trình khi $m=3$.
b) Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, \, x_2$ sao cho biểu thức $A=\dfrac{4(x_1x_2+1)}{x_{1}^2+x_2^2+2(2+x_1x_2)}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Khi $m=3$, phương trình đã cho trở thành: $x^2-6x+5=0$.
Vì $a+b+c=1-6+5=0$ nên phương trình có hai nghiệm $x_1=1$ và $x_2=5$.
b) Vì $a+b+c=1-2m+2m-1=0$ nên phương trình có nghiệm $x_1=1$ và $x_2=2m-1$ với mọi giá trị của $m$.
Ta có: $A=\dfrac{4(x_1x_2+1)}{x_{1}^2+x_2^2+2(2+x_1x_2)}=\dfrac{4(x_1x_2+1)}{(x_1+x_2)^2+4}=\dfrac{4(2m-1+1)}{(2m-1+1)^2+4}=\dfrac{8m}{4m^2+4}=\dfrac{2m}{m^2+1}$
Lại có: $(m+1)^2\ge 0,$ với mọi $m$
$2m \ge -(m^2+1)$ với mọi $m$
$\dfrac{2m}{(m^2+1)} \ge -1$ với mọi $m$
Suy ra $A \ge -1$ với mọi $m$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=-1$.
Suy ra $A$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ khi $m=-1$.
Cho phương trình $x^2-(m-1)-m^2+m-2=0$, với $m$ là tham số.
a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_1; \, x_2$. Tìm $m$ để biểu thức $A=\Big(\dfrac{x_1}{x_2}\Big)^3-\Big(\dfrac{x_2}{x_1}\Big)^3$ đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Xét $a.c=-m^2+m-2=-(m-\dfrac12)^2-\dfrac{3}{4}<0,$ với mọi $m \in \mathbb{R}$.
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$.
b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_1, \, x_2$.
Theo câu a) thì $x_1x_2\ne 0$, do đó $A$ được xác định với mọi $x_1, \, x_2$.
Do $x_1, \, x_2$ trái dấu nên $\Big(\dfrac{x_1}{x_2}\Big)^3=-t$ với $t>0$, suy ra $\Big(\dfrac{x_2}{x_1}\Big)^3<0$, suy ra $A<0$
Đặt $\Big(\dfrac{x_1}{x_2}\Big)^3=-t$, với $t>0$, suy ra $\Big(\dfrac{x_2}{x_1}\Big)^3=-\dfrac{1}{t}$.
Khi đó $A=-t-\dfrac{1}{t}$ mang giá trị âm và $A$ đạt giá trị lớn nhất khi $-A$ có giá trị nhỏ nhất.
Ta có $-A=t+\dfrac{1}{t}\ge 2$, suy ra $A\le -2$.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $t=\dfrac{1}{t}$
$t^2=1$
$t=\pm 1$
Vì $t>0$ nên $t=1$
Với $t=1$, ta có $\Big(\dfrac{x_1}{x_2}\Big)^3=-1$
$\dfrac{x_1}{x_2}=-1$
$x_1=-x_2 $
$ x_1+x_2=0 $
$-(m-1)=0$
$m=1$.
Vậy với $m=1$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị lớn nhất là $-2$.
Cho phương trình $x^2-2x+2-m=0$ (1) ($m$ là tham số).
a) Tìm $m$ để phương trình (1) có nghiệm.
b)Giả sử $x_1; \, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x_{1}^2x_2^2+3(x_{1}^2+x_2^2)-4$.
Hướng dẫn giải
a) Phương trình có nghiệm khi $\Delta '=1-(2-m)=m-1\ge 0$
$m\ge 1$
b) Với $m\ge 1$ ta có $x_1+x_2=2; \, x_1.x_2=2-m$ (định lí Viète).
Khi đó $A=x_{1}^2x_2^2+3(x_{1}^2+x_2^2)-4$
$=x_{1}^2x_2^2+3(x_1+x_2)^2-6x_1x_2-4$
$={{(2-m)}^2}+{{3.2}^2}-6(2-m)-4$
$={{(2-m)}^2}-6(2-m)+9-1$
$={{(2-m-3)}^2}-1={{(m+1)}^2}-1$
Do $m\ge 1$ nên $(m+1)^2 \ge 2^2=4$ hay $A\ge 4-1=3$
Dấu bằng xảy ra khi $m=1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ bằng $3$ đạt được khi $m=1$.
Cho phương trình $x^2-2mx+2-m=0$ (1) ($m$ là tham số).
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
b) Gọi $x_1; \, x_2$ là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm $m$ để biểu thức $M=\dfrac{-24}{2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: $\Delta'=m^2-(m-2)=m^2-m+2=\Big(m-\dfrac12\Big)^2+\dfrac{7}{4}>0$ với mọi $m$.
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
b) Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=2m; \, x_1.x_2=m-2$
Do $x_2$ là nghiệm của (1) nên $x_2^2-2mx_2+m-2=0$
$x_2^2=2mx_2-m+2$
Do đó $2mx_1+x_2^2-6x_1x_2-m+2$
$=2m(x_1+x_2)-6x_1x_2-2m+4$
$=2m.2m-6(m-2)-2m+4$
$=4m^2-8m+16=4{{(m-1)}^2}+12\ge 12$.
Suy ra $M\ge \dfrac{-24}{12}=-2$.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $m=1$.