Xác định điều kiện tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Ta có: $2x^2+4x+m=0$ (*)

$\Delta'=2^2-2.m=4-2m$

Phương trình (*) có hai nghiệm $x_1; \, x_2$ khi $\Delta' \ge 0$

$4-2m \ge 0$

$m \le 2$

Với $m \le 2$ thì phương trình (*) có hai nghiệm $x_1; \, x_2$, theo hệ thức Viète:

$x_1+x_2=\dfrac{-4}{2}=-2;$ $x_1.x_2=\dfrac{m}{2}$

Khi đó $x_1^2+x_2^2=10$ trở thành

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10$

$(-2)^2-2.\dfrac{m}{2}=10$

$4-m=10$

$m=-6$ (thỏa mãn).

Ta có: $\Delta '= 2^2-(m-1)=5-m$

Để phương trình có hai nghiệm $x_1; \, x_2$ thì $\Delta' \ge 0$ hay $m \le 5$

Áp dụng định lí Viète ta có: $x_1+x_2=4; \, x_1x_2=m-1$

Theo bài ta ta có:

$x_1^2+x_2^2=14$

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=14$

$4^2-2( m-1)=14$

$m=2$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với $m=2$ thì phương trình $x^2-4x+m-1=0$ có hai nghiệm $x_1; \, x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_2^2=14$.

Ta có: $\Delta '=(-1)^2-m+1=2-m$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$ thì $\Delta '>0$

$2-m>0$

$m<2$.

Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$; $x_2$, theo định lí Viète ta có:

$x_1+x_2=2$; $x_1x_2=m-1$

Khi đó, $x_1^2+x_2^2-x_1x_2+x_1^2x_2^2-14=0$ trở thành

$( x_1+x_2)^2-3x_1x_2+x_1^2x_2^2-14=0$

$2^2-3( m-1)+(m-1)^2-14=0 $

$4-3m+3+m^2-2m+1-14=0$

$m^2-5m-6=0 $

$( m+1)( m-6)=0$

$m=-1$ (nhận) hoặc $m=6$ (loại).

Vậy $m=-1$ thỏa mãn yêu cầu.

Phương trình $x^2-mx+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta >0$.

$(-m)^2-4(m-2)>0$

$m^2-4m+8>0$

$(m-2)^2+4>0$ (luôn đúng).

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$.

Theo hệ thức Viète ta có: $x_2+x_2=m$; $x_1x_2=m-2$.

Theo bài ra ta có:

$x_1-x_2=2\sqrt{5}$

$(x_1-x_2)^2=20$

$x_1^2+x_2^2-2x_2x_2=20$

$(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2)-4x_1x_2=20$

$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=20$

$m^2-4(m-2)=20$

$m^2-4m-12=0$ (1)

Ta có $\Delta_{(1)}'=2^2-1.(-12)=16>0$ nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$m_1=\dfrac{2+\sqrt{16}}{1}=6;$ $m_2=\dfrac{2-\sqrt{16}}{1}=-2$.

Phương trình $x^2-2( m+1)x+m^2+2m=0$ (1) có:

$\Delta '= [-(m+1)]^2-( m^2+2m)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1; \, x_2$ với mọi $m$, mà $x_1<x_2$ nên:

$x_1=m+1-1=m$;

$x_2=m+1+1=m+2$;

$x_1; \, x_2$ thỏa mãn: $|x_1|=3|x_2|$

$|m|=3|m+2|$

$m=3( m+2)$ hoặc $m=-3( m+2)$

$3m+6=m$ hoặc $m=-3m-6$

$m=-3$ (thỏa mãn) hoặc $m=\dfrac{-3}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy tất cả các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu là: $m=-3$ và $m=-\dfrac{3}{2}$.

Xét phương trình $x^2-2mx+4m-4=0$

Phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1$, $x_2$ khi $\Delta '>0$

$m^2-4m+4>0$

$(m-2)^2>0$

$m-2 \ne 0$

$m \ne 2$

Với $m \ne 2$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1$, $x_2$.

Áp dụng hệ thức Viète ta có: $x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m$;

$x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=4m-4$

Theo đề bài ta có:

$x_1^2+x_2^2-8=0$

$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-8=0$

$(2m)^2-2.( 4m-4)-8=0$

$4m^2-8m+8-8=0$

$4m^2-8m=0$

$4m( m-2)=0$

$4m=0$ hoặc $m-2=0$

$m=0$ (thỏa mãn) hoặc $m=2$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy $m=0$.

Phương trình $x^2-2x+m-1=0$ có $\Delta'=1-m+1=2-m$.

Phương trình đã cho có nghiệm khi $\Delta ' \ge 0$

$2-m\ge 0$

$m\le 2$

Khi đó theo định li Viète ta có: $x_1+x_2=2; \, x_1x_2=m-1$

Do $x_1; \, x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2-2x+m-1=0$ nên ta có:

$\left\{ \begin{aligned} x_1^2=2x_1-m+1 \\ x_2^2=2x_2-m+1 \\ \end{aligned} \right.$

Theo bài ra ta có:

$x_{1}^{4}-x_{1}^{3}=x_{2}^{4}-x_{2}^{3}$

$x_{1}^{4}-x_{2}^{4}-( x_{1}^{3}-x_{2}^{3})=0$

$( x_1^2+x_2^2)( x_1^2-x_2^2)-( x_1-x_2)( x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=0$

$( 2( x_1+x_2)-2m+2)( 2x_1-m+1-2x_2+m-1)-( x_1-x_2)\left[ 2( x_1+x_2)-2m+2+m-1 \right]=0$

$( 2.2-2m+2).2( x_1-x_2)-( x_1-x_2)( 2.2-m+1)=0$

$( x_1-x_2)( 2(6-2m)-5+m)=0$

$( x_1-x_2)(3m+7)=0$

$x_1=x_2$; $m=\dfrac{7}{3}$ (ktm)

Thay $x_1=x_2$ vào (1) ta được:

$\left\{ \begin{aligned} 2x_1=2 \\ x_1^2=m-1 \\ \end{aligned} \right.$

$\left\{ \begin{aligned} x_1=1 \\ m=2(tm) \\ \end{aligned} \right.$

Vậy $m=2$.

Ta có: $\Delta =m^2-4(m^2-m-3)=3m^2-4m-12$ .

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $\Delta \ge 0$

$m^2-4(m^2-m-3)\ge 0 $

$3m^2-4m-12\le 0$ (1) 

Vì độ dài cạnh của tam giác vuông là số dương nên $x_1, \, x_2>0$.

Theo định lí Viète, ta có $\left\{ \begin{aligned} & x_1+x_2=m>0 \\ & x_1.x_2=m^2-m-3>0 \\ \end{aligned} \right.$ (2).

Từ giả thiết suy ra $x_{1}^2+x_{2}^2=4$ suy ra $(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=4$.

Do đó $m^2-2(m^2-m-3)=4 $

$m^2-2m-2=0$

$m=1\pm \sqrt{3}$

Thay $m=1\pm \sqrt{3}$ vào (1) ta thấy $m=1+\sqrt{3}$ thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là $m=1+\sqrt{3}$.