A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Bài toán Trung bình cộng là một phần kiến thức cực kỳ quan trọng và có rất nhiều dạng hay. Để tự học tốt chuyên đề này, các em cần ghi nhớ 3 nhóm kiến thức sau đây:

1. Công thức gốc (Cơ bản nhất):

Muốn tìm trung bình cộng của nhiều số, ta lấy tổng của các số đó chia cho số lượng các số hạng.

TBC = Tổng : Số các số hạng.

Muốn tìm tổng khi đã biết trung bình cộng, ta lấy trung bình cộng nhân với số lượng các số hạng.

Tổng = TBC × Số các số hạng.

2. Mẹo giải nhanh với dãy số cách đều

Nếu các số được cho là một dãy số cách đều nhau (ví dụ: các số tự nhiên liên tiếp, các số chẵn liên tiếp, các số lẻ liên tiếp,...):

+ Nếu dãy có số lượng số hạng là số lẻ (3 số, 5 số, 7 số...): Trung bình cộng chính là số ở chính giữa của dãy.

+ Nếu dãy có số lượng số hạng là số chẵn (4 số, 6 số, 8 số...): Trung bình cộng bằng tổng của một cặp số ở hai đầu cộng lại rồi chia cho 2 (Hoặc chính là (Số đầu + Số cuối) : 2).

3. Một số lưu ý:

Nếu một số bằng trung bình cộng của các số còn lại, thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số.

Nếu số A nhiều hơn trung bình cộng của tất cả các số là n đơn vị, nghĩa là A phải mang n đơn vị đó đem bù cho các số còn lại. Khi đó: Trung bình cộng của tất cả các số = (Tổng các số còn lại + n) : Số lượng các số còn lại.

Nếu số A ít hơn trung bình cộng của tất cả các số là n đơn vị, nghĩa là các số còn lại phải trích ra n đơn vị để bù cho A. Khi đó: Trung bình cộng của tất cả các số = (Tổng các số còn lại − n) : Số lượng các số còn lại.

B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Bài toán Trung bình cộng cơ bản

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức trong phần 1 bên trên.

TBC = Tổng : Số các số hạng.

Tổng = TBC × Số các số hạng.

Ví dụ 1: Cây tre thứ nhất cao 6 m, cây tre thứ hai cao 3 m 5 dm, cây tre thứ ba cao 2 m 5 dm. Hỏi trung bình mỗi cây tre cao bao nhiêu mét?

Bài giải

Tổng chiều cao của cả ba cây tre là:

6 m + 3 m 5 dm + 2 m 5 dm = 12 (m)

Trung bình mỗi cây tre cao số mét là:

12 : 3 = 4 (m)

Đáp số: 4 m.
Ví dụ 2: Bạn Nam đọc sách trong 4 ngày đầu, trung bình mỗi ngày đọc được 15 trang. Hỏi sang ngày thứ 5, Nam phải đọc bao nhiêu trang sách nữa để trung bình cả 5 ngày, mỗi ngày Nam đọc được 18 trang sách?

Bài giải

Tổng số trang sách Nam đọc được trong 4 ngày đầu là:

15 × 4 = 60 (trang)

Để trung bình 5 ngày là 18 trang thì tổng số trang sách Nam phải đọc trong cả 5 ngày là:

18 × 5 = 90 (trang)

Ngày thứ 5 Nam phải đọc số trang sách là:

90 − 60 = 30 (trang)

Đáp số: 30 trang sách.

Dạng 2: Trung bình cộng của dãy số cách đều

Phương pháp giải: Áp dụng mẹo số ở chính giữa đối với dãy có lẻ số hạng. Vẽ các vạch ngang tượng trưng cho các số để dễ dàng cộng/trừ tìm ra số lớn nhất, bé nhất.

Ví dụ 1: Trung bình cộng của 7 số chẵn liên tiếp là 120. Tìm số lớn nhất và số bé nhất trong 7 số đó.

Bài giải

Vì dãy có 7 số chẵn liên tiếp (là số lẻ lượng số hạng) nên trung bình cộng chính là số ở chính giữa (số thứ 4).

Dãy số đó có dạng: _ ; _ ; _ ; 120 ; _ ; _ ; _

Vì là số chẵn liên tiếp nên mỗi số cách nhau 2 đơn vị. Số lớn nhất cách số ở giữa 3 khoảng, nên số lớn nhất là:

120 + (3 × 2) = 126

Số bé nhất cách số ở giữa 3 khoảng về phía trước, nên số bé nhất là:

120 − (3 × 2) = 114

Đáp số: Số lớn nhất: 126; Số bé nhất: 114.

Ví dụ 2: Tìm trung bình cộng của tất cả các số lẻ liên tiếp từ 21 đến 2 025.

Bài giải

Đây là dãy số cách đều. Áp dụng quy tắc, trung bình cộng của cả dãy bằng trung bình cộng của số đầu và số cuối.

Trung bình cộng của dãy số là:

(21 + 2 025) : 2 = 1 023

Đáp số: 1 023.

Dạng 3: Một đại lượng bằng trung bình cộng của các số còn lại

Phương pháp giải: Ghi nhớ: "Bằng trung bình cộng của các số còn lại thì cũng bằng trung bình cộng của tất cả các số".

Ví dụ: Cửa hàng có 3 bao gạo. Bao thứ nhất nặng 45 kg, bao thứ hai nặng 55 kg. Bao thứ ba nặng bằng trung bình cộng của bao thứ nhất và bao thứ hai. Hỏi trung bình mỗi bao nặng bao nhiêu ki-lô-gam?

Bài giải

Vì bao thứ ba nặng bằng trung bình cộng của hai bao còn lại, nên khối lượng của bao thứ ba cũng chính là khối lượng trung bình của cả 3 bao.

Trung bình mỗi bao nặng số ki-lô-gam là:

(45 + 55) : 2 = 50 (kg)

Đáp số: 50 kg.

Dạng 4: Một đại lượng nhiều hơn trung bình cộng của tất cả

Phương pháp giải: Ta dùng phương pháp bù trừ. Số lớn hơn phải lấy phần lớn hơn đó đem bù chia đều cho những người còn lại để tất cả cùng bằng trung bình cộng.

Ví dụ: Tổ Một làm được 20 sản phẩm, Tổ Hai làm được 25 sản phẩm, Tổ Ba làm được 21 sản phẩm. Tổ Bốn làm được số sản phẩm nhiều hơn trung bình cộng của cả 4 tổ là 6 sản phẩm. Hỏi Tổ Bốn làm được bao nhiêu sản phẩm?

Bài giải

(Tổ Bốn làm nhiều hơn trung bình cộng của 4 tổ là 6 sản phẩm. Vậy Tổ Bốn sẽ đem 6 sản phẩm này bù cho 3 tổ còn lại (Tổ 1, 2, 3) để cả 4 tổ có số sản phẩm bằng nhau và bằng trung bình cộng.)

Trung bình cộng số sản phẩm của cả 4 tổ là:

(20 + 25 + 21 + 6) : 3 = 24 (sản phẩm)

Số sản phẩm Tổ Bốn làm được là:

24 + 6 = 30 (sản phẩm)

Đáp số: 30 sản phẩm.

Dạng 5: Một đại lượng ít hơn trung bình cộng của tất cả

Phương pháp giải: Khi một số bị ít hơn trung bình cộng, thì tổng của các số còn lại phải trích ra một phần đúng bằng số thiếu đó để bù lại cho nó, thì tất cả mới bằng trung bình cộng được.

Ví dụ: Trại chăn nuôi ngày thứ nhất bán được 45 con gà, ngày thứ hai bán được 42 con gà, ngày thứ ba bán được 47 con gà. Ngày thứ tư bán được số gà ít hơn trung bình cộng của cả 4 ngày là 8 con. Hỏi ngày thứ tư bán được bao nhiêu con gà?

Bài giải

(Ngày thứ tư bán ít hơn trung bình cộng 4 ngày là 8 con. Do đó, 3 ngày đầu tiên phải gánh phần thiếu này để cho ngày thứ tư bằng với trung bình cộng.)

Trung bình cộng số gà bán được của cả 4 ngày là:

(45 + 42 + 47 − 8) : 3 = 42 (con)

Số gà bán được trong ngày thứ tư là:

42 − 8 = 34 (con)

Đáp số: 34 con gà.