I. Phân dạng bài tập mẫu
1.1. Tìm số lớn nhất (hoặc bé nhất) theo điều kiện khi biết tổng, hiệu hoặc tích các chữ số.
Dạng 1: Tìm số lớn nhất khi biết tổng của các chữ số của nó
Nguyên tắc
- Ưu tiên chữ số lớn ở hàng cao (trái)
- Các chữ số giảm dần từ trái sang phải
- Phân phối tổng sao cho số thu được là lớn nhất
Cách giải
Trường hợp 1: Tìm số lớn nhất có a chữ số mà (a − 1) × 9 < tổng các chữ số \(\leq\) a × 9
Cách làm: Chọn chữ số hàng cao nhất là 9, chữ số các hàng tiếp theo là các chữ số lớn nhất có thể, chữ số hàng đơn vị = Tổng các chữ số − tổng các chữ số đã chọn.
Trường hợp 2: Tìm số lớn nhất có a chữ số mà (a − 2) × 9 < tổng các chữ số \(\leq\) (a − 1) × 9
Cách làm: Chọn chữ số hàng cao nhất là 9, chữ số các hàng tiếp theo là các chữ số lớn nhất có thể, chọn chữ số hàng đơn vị là 0, chữ số hàng chục = tổng − tổng các chữ số đã chọn.
Trường hợp 3: Tìm số lớn nhất có a chữ số mà tổng các chữ số < 10
Cách làm: Chọn chữ số hàng đơn vị là 0, các chữ số hàng tiếp theo là các chữ số bé nhất có thể và chữ số hàng cao nhất = tổng các chữ số − tổng các chữ số đã chọn.
Bài tập mẫu
Ví dụ 1. Tìm số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 28.
Phân tích: Ta thấy: 9 × 3 < 28 < 9 × 4 → Áp dụng trường hợp 1
Bài giải
Ta chọn chữ số hàng nghìn là 9 (vì 9 là chữ số lớn nhất). Chọn chữ số hàng trăm là 8, chữ số hàng chục là 7.
Chữ số hàng đơn vị là: 28 − 9 − 8 − 7 = 4
Vậy số cần tìm là 9 874.
Ví dụ 2. Tìm số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 22.
Phân tích: Ta thấy: 9 × 2 < 22 < 9 × 3 → Áp dụng trường hợp 2
Bài giải
Ta chọn chữ số hàng nghìn là 9, chọn chữ số hàng trăm là 8, chữ số hàng đơn vị là 0.
Chữ số hàng chục là: 22 − 9 − 8 = 5
Vậy số cần tìm là 9 850.
Ví dụ 3: Tìm số lớn nhất có bốn chữ số khác nhau mà tổng các chữ số bằng 8.
Phân tích: Ta thấy: 8 < 10 → Áp dụng trường hợp 3
Bài giải
Chọn chữ số hàng đơn vị là 0.
Chọn chữ số hàng chục là 1 (vì 1 là số bé nhất trong các số còn lại)
Chọn chữ số hàng trăm là 2 (vì 2 là số bé nhất trong các số còn lại)
Chọn chữ số hàng nghìn là: 8 − 0 − 1 − 2 = 6.
Vậy số cần tìm là 6 210.
Dạng 2: Tìm số bé nhất khi biết tổng của các chữ số của nó
Nguyên tắc
- Hàng cao nhất nhỏ nhất (khác 0).
- Các chữ số phía sau càng nhỏ càng tốt.
- Dồn giá trị về bên phải.
Ví dụ. Tìm số bé nhất có bốn chữ số khi biết tổng các chữ số là 8.
Bài giải
Chọn chữ số hàng nghìn là 1 (vì 1 là số bé nhất khác 0).
Chọn chữ số hàng trăm là 0, chữ số hàng chục là 0.
Chữ số hàng đơn vị là: 8 − 1 = 7.
Vậy số cần tìm là 1 007.
Dạng 3: Tìm số lớn nhất khi biết tích các chữ số
Nguyên tắc
- Phân tích tích thành nhiều thừa số nhỏ.
- Sắp xếp giảm dần.
Số lớn nhất khi có nhiều chữ số nhất và có chữ số lớn nhất ở hàng cao nhất.
Ví dụ. Tìm số lớn nhất có các chữ số khác nhau mà tích là 40.
Bài giải
Ta có 40 = 1 × 2 × 4 × 5.
Vậy số lớn nhất có các chữ số khác nhau mà tích là 40 là 5 421.
Dạng 4: Tìm bé nhất khi biết tích các chữ số
Nguyên tắc
- Dùng ít chữ số nhất.
- Sắp xếp tăng dần.
Số bé nhất khi có ít các chữ số và chữ số bé nhất ở hàng cao nhất.
Ví dụ. Tìm số bé nhất mà tích các chữ số bằng 35.
Bài giải
Ta có: 35 = 5 × 7
Vậy số bé nhất có tích các chữ số bằng 35 là 57.
1.2. Các bài toán về số tự nhiên và tổng các chữ số của nó
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 3 lần tổng các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline{ab}\) (a, b là chữ số, a > 0)
Theo bài ra ta có: \(\overline{ab}\) = (a + b) × 3
a × 10 + b = a × 3 + b × 3
a × 7 = b × 2 (1)
Từ (1) suy ra a chia hết cho 2, b chia hết cho 7.
Do a, b là chữ số nên b = 7, a = 2.
Vậy số cần tìm là 27.
Ví dụ 2: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng của số đó và các chữ số của nó là 70.
Bài giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline{ab}\) (a, b là chữ số, a > 0)
Theo bài ra ta có: \(\overline{ab}\) + (a + b) = 70
a × 10 + b + a + b = 70
a × 11 + b × 2 = 70 (1)
Từ (1) ta thấy a < 7 vì nếu a = 7 thì a × 11 = 77 > 70. (2)
Lại có do b < 10 nên b × 2 < 20, vậy thì a × 11 > 50 hay a > 4 (3). Thêm nữa, do 70 là số chẵn, b × 2 là số chẵn nên a × 11 là số chẵn, hay a là số chẵn (4).
Từ (1), (2), (3), (4), ta có a = 6. Khi đó b = 2. Ta được số cần tìm là 62.
1.3. Các bài toán về số tự nhiên và hiệu các chữ số của nó
Ví dụ: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị.
Bài giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline{ab}\) (a, b là chữ số, a > 0)
Theo bài ra ta có: \(\overline{ab}\) = (a − b) × 21
a × 10 + b = a × 21 − b × 21
b × 22 = a × 11
b × 2 = a × 1
Do a < 10 nên b × 2 < 10 hay b < 5
Với b = 1, a = 2, ta được số 21.
Với b = 2, a = 4, ta được số 42.
Với b = 3, a = 6, ta được số 63.
Với b = 4, a = 8, ta được số 84.
Đáp số: 21, 42, 63, 84.
1.4. Các bài toán về số tự nhiên và tích các chữ số của nó
Ví dụ: Tìm số có ba chữ số biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó.
Bài giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline{abc}\) (a, b, c là chữ số, a > 0)
Theo bài ra ta có: \(\overline{abc}\) = a × b × c × 5
Ta thấy rằng, do a × b × c × 5 5 nên \(\overline{abc}\) chia hết cho 5. Vậy thì c = 5 (c không thể bằng 0 vì khi đó \(\overline{abc}\) = 0)
Vậy ta được số \(\overline{ab5}\). Thế thì: \(\overline{ab5}\) = a × b × 25 hay a × 100 + \(\overline{b5}\) = a × b × 25
Do a × b × 25 và a × 100 chia hết cho 25 nên \(\overline{b5}\) cũng chia hết cho 25. Vậy b = 2 hoặc b = 5.
Nếu b = 2 thì a × 100 + 25 = a × 50 (Loại do a × 100 > a × 50)
Nếu b = 7 thì a × 100 + 75 = a × 175 hay a = 1. Vậy ta được số 175.
Vậy số cần tìm là 175.
