Tổng hợp kiến thức và bài tập mẫu: Hình tròn SVIP

I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Công thức cơ bản

Chu vi hình tròn (C):

C = d × 3,14 = r × 2 × 3,14 (với d là đường kính, r là bán kính).

Diện tích hình tròn (S):

S = r × r × 3,14

2. Nguyên tắc tỉ lệ

Nếu bán kính (hoặc đường kính) của hình tròn gấp lên n lần thì diện tích của hình tròn đó gấp lên n × n lần.

Ngược lại, khi biết tỉ số diện tích, ta có thể suy ngược ra tỉ số bán kính.

3. Một số phương pháp giải toán hình tròn nâng cao

Phương pháp diện tích bằng nhau (Bù trừ diện tích):

Khi đề bài cho hai phần diện tích khác nhau nhưng bằng nhau (ví dụ phần tô đậm bằng phần gạch chéo), ta thường cộng thêm vào cả hai phần đó một phần "diện tích chung" để tạo thành hai hình cơ bản quen thuộc (như hình chữ nhật và \(\frac14\) hình tròn).

Phương pháp cắt ghép hình:

Di chuyển các phần diện tích nhỏ (như \(\frac12;\frac14\) hình tròn hoặc hình cánh hoa) từ vị trí này sang vị trí khác để lấp đầy, tạo thành các hình cơ bản dễ tính toán.

Kỹ thuật tính diện tích "Cánh hoa" hoặc "Chiếc lá":

Hình "chiếc lá" (1 cánh hoa) thường là phần giao nhau của \(\frac14\) hình tròn tâm A và \(\frac14\) hình tròn tâm C nằm trong một hình vuông.

Công thức gốc:

Diện tích 1 chiếc lá = (Diện tích \(\frac14\) hình tròn trừ đi diện tích tam giác vuông) × 2

Đối với hình 4 cánh hoa (giao của 4 nửa hình tròn):

Tổng diện tích 4 nửa hình tròn sẽ trùm kín diện tích hình vuông và phần "cánh hoa" bị đè lên 2 lần.

Do đó ta có công thức:

Diện tích 4 cánh hoa = Tổng diện tích 4 nửa hình tròn − Diện tích hình vuông.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU

📖 Dạng 1: Bài toán tăng/giảm kích thước hình tròn

Phương pháp:

Áp dụng tính chất: Diện tích tăng (giảm) bao nhiêu lần thì bình phương bán kính tăng (giảm) bấy nhiêu lần.

Ví dụ: Nếu bán kính của hình tròn tăng thêm 50% thì diện tích của hình tròn đó tăng thêm bao nhiêu phần trăm?

Bài giải

Coi bán kính hình tròn ban đầu là 1.

Bán kính hình tròn mới bằng số lần bán kính ban đầu là:

100% + 50% = 150% (bán kính ban đầu) = 1,5 (bán kính ban đầu)

Diện tích hình tròn mới so với diện tích ban đầu chiếm số phần trăm là:

1,5 × 1,5 = 2,25 = 225%

Diện tích hình tròn đó đã tăng thêm số phần trăm là:

225% − 100% = 125%

Đáp số: Tăng thêm 125%.

📖 Dạng 2: Bài toán bù trừ diện tích

Phương pháp:

Gọi phần không tô màu chung là phần ở giữa. Ta lấy phần (1) + phần chung và phần (2) + phần chung để tạo thành hai hình quen thuộc có diện tích bằng nhau.

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều rộng AD = 4 cm. Vẽ đường tròn tâm D, bán kính DA và đường tròn tâm C, bán kính CB (như hình vẽ). Biết phần diện tích tô màu nằm ngoài đường tròn bằng phần diện tích gạch chéo nằm ngoài hình chữ nhật. Tính chiều dài AB của hình chữ nhật.

Bài giải

Đặt tên các phần diện tích chữ hình vẽ dưới đây:

Ta thấy rằng:

Diện tích phần 1 + Diện tích phần 4 + Diện tích phần 2 + Diện tích phần 4 = Diện tích \(\frac14\) hình tròn bán kính 4 cm + Diện tích \(\frac14\) hình tròn bán kính 4 cm

Lại có: Diện tích phần 4 = Diện tích phần 3

Vậy nên:

Diện tích phần 1 + Diện tích phần 2 + Diện tích phần 3 + Diện tích phần 4 = 2 × Diện tích \(\frac14\) hình tròn bán kính 4 cm

Hay Diện tích hình chữ nhật ABCD = Diện tích nửa hình tròn bán kính 4 cm

Diện tích nửa hình tròn bán kính 6 cm là:

(4 × 4 × 3,14) : 2 = 25,12 (cm²)

Suy ra diện tích hình chữ nhật ABCD là 25,12 cm².

Chiều dài AB của hình chữ nhật là: 25,12 : 4 = 6,28 (cm)

Đáp số: 6,28 cm.

📖 Dạng 3: Bài toán tính diện tích hình "Cánh hoa", "Chiếc lá"

Phương pháp:

Sử dụng sự giao nhau của các nửa hình tròn hoặc \(\frac14\) hình tròn.

Ví dụ 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 20 cm. Lấy A và C làm tâm, vẽ hai cung tròn bán kính 20 cm nằm trong hình vuông (như hình vẽ). Tính diện tích phần được tô màu.

Bài giải

Nối đường chéo BD của hình vuông, BD chia phần được tô màu thành 2 nửa bằng nhau.

Xét nửa phần được tô màu phía trên đường chéo BD:

Đây này chính là phần diện tích của \(\frac14\) hình tròn tâm C (bán kính 20cm) trừ đi diện tích của tam giác vuông BCD.

Diện tích \(\frac14\) hình tròn tâm C là:

(20 × 20 × 3,14) : 4 = 314 (cm²)

Diện tích tam giác vuông BCD là:

(20 × 20) : 2 = 200 (cm²)

Diện tích nửa phần được tô màu là:

314 − 200 = 114 (cm²)

Diện tích của phần được tô màu là:

114 × 2 = 228 (cm²)

Đáp số: 228 cm².

Ví dụ 2: Cho hình vuông MNPQ có cạnh là 10 cm. Lấy trung điểm 4 cạnh làm tâm, vẽ 4 nửa hình tròn có đường kính là các cạnh của hình vuông. Bốn nửa hình tròn này giao nhau tạo thành một bông hoa 4 cánh ở giữa (như hình vẽ). Tính diện tích bông hoa đó.

Bài giải

Bốn nửa đường tròn có đường kính 10 cm ghép lại sẽ tạo thành 2 hình tròn nguyên vẹn có đường kính 10 cm (tức là bán kính 5 cm).

Tổng diện tích của 2 hình tròn này là:

(5 × 5 × 3,14) × 2 = 157 (cm²)

Diện tích của hình vuông MNPQ là:

10 × 10 = 100 (cm²)

Khi ta đặt 4 nửa hình tròn vào trong hình vuông, chúng phủ kín toàn bộ hình vuông. Hơn thế nữa, phần diện tích giao nhau của chúng (chính là 4 cánh hoa) đã bị tính lặp lại (tính 2 lần).

Do đó, diện tích 4 cánh hoa = Tổng diện tích 4 nửa hình tròn − Diện tích hình vuông.

Diện tích bông hoa 4 cánh là:

157 − 100 = 57 (cm²)

Đáp số: 57 cm².

📖 Dạng 4: Bài toán tính diện tích hình đặc biệt

Phương pháp:

Áp dụng cách ghép hình, tổng hiệu diện tích.

Ví dụ: Cho hình vẽ. Tính diện tích phần được tô màu, biết ABCD và CBFE là các hình vuông có độ dài cạnh 10 cm.

Bài giải

Nối CF.

Cách 1: Ta thấy diện tích phần được tô màu bằng tổng diện tích tam giác DCF và hiệu diện tích giữa \(\frac14\) hình tròn tâm B, bán kính BC và tam giác vuông CBF.

Diện tích tam giác DCF là:

10 × 10 : 2 = 50 (cm²)

Diện tích \(\frac14\) hình tròn tâm B, bán kính BC là:

10 × 10 × 3,14 = 314 (cm²)

Diện tích tam giác CBF là:

10 × 10 : 2 = 50 (cm²)

Vậy diện tích phần được tô màu là:

50 + (314 − 50) = 314 (cm²)

Đáp số: 314 cm².

Cách 2: Ta thấy diện tích tam giác DCF bằng diện tích tam giác CBF.

Vậy nên diện tích phần tô màu bằng diện tích \(\frac14\) hình tròn tâm B, bán kính BC.

Diện tích \(\frac14\) hình tròn tâm B, bán kính BC là:

10 × 10 × 3,14 = 314 (cm²)

Đáp số: 314 cm².