I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1. Phân loại hình tam giác

Hình tam giác là hình có ba cạnh và ba đỉnh. Bất kỳ cạnh nào trong ba cạnh đều có thể được chọn làm cạnh đáy của hình tam giác.

Phân loại theo cạnh:

Phân loại theo góc:

2. Các đường cao trong tam giác

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng hạ từ đỉnh xuống đáy và vuông góc với đáy.

Mỗi hình tam giác luôn có 3 đường cao.

+ Đối với tam giác có ba góc nhọn: Cả ba đường cao đều nằm trọn ở bên trong tam giác.

+ Đối với tam giác vuông: Hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao của tam giác. Chiều cao thứ ba hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh dài nhất.

+ Đối với tam giác tù: Chỉ có một đường cao nằm bên trong tam giác, hai đường cao còn lại nằm ở bên ngoài tam giác.

3. Các công thức tính toán cơ bản

Gọi P là chu vi, S là diện tích tam giác, a là số đo cạnh đáy, h là số đo đường cao tương ứng với cạnh đáy đó (lưu ý a và h phải cùng đơn vị đo).

Công thức tính chu vi: P = tổng độ dài 3 cạnh (P = a + b + c).

Công thức tính diện tích: S = (a × h) : 2.

Công thức tìm chiều cao: h = (S × 2) : a.

Công thức tìm cạnh đáy: a = (S × 2) : h.

4. Các nguyên tắc về diện tích

Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và chiều cao tương ứng bằng nhau (hoặc chung chiều cao).

Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau và có đáy bằng nhau, thì hai chiều cao tương ứng với hai đáy đó cũng bắt buộc phải bằng nhau.

Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau và có chiều cao bằng nhau, thì hai cạnh đáy tương ứng cũng bắt buộc phải bằng nhau.

Hai tam giác có chung cạnh đáy (hoặc đáy bằng nhau) thì tỉ số diện tích của chúng bằng chính tỉ số của hai chiều cao tương ứng.

Hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau) thì tỉ số diện tích của chúng bằng chính tỉ số của hai cạnh đáy tương ứng.

Để hai tam giác có diện tích bằng nhau, nếu đáy của tam giác này gấp bao nhiêu lần đáy của tam giác kia thì chiều cao của tam giác kia phải gấp bấy nhiêu lần chiều cao của tam giác này.

Hai tam giác lớn có diện tích bằng nhau, nếu chúng có chứa một phần diện tích chung lồng vào nhau, thì khi gạt bỏ phần chung đó đi, các phần diện tích còn lại của hai tam giác chắc chắn sẽ bằng nhau.

II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU

📖 Dạng 1: Bài toán thay đổi kích thước

Phương pháp: Khi kéo dài hoặc cắt bớt cạnh đáy của một hình tam giác, phần diện tích tăng thêm hoặc giảm đi luôn là một hình tam giác có chung chiều cao với hình tam giác ban đầu.

Ví dụ: Một hình tam giác ABC có cạnh đáy 3,5 m. Nếu kéo dài cạnh đáy BC thêm 2,7 m thì diện tích tam giác tăng thêm 5,265 m². Tính diện tích hình tam giác ABC đó.

Bài giải

Phần diện tích tăng thêm chính là diện tích tam giác ACD.

Chiều cao của tam giác ACD là:

5,265 × 2 : 2,7 = 3,9 (m)

Vậy chiều cao của tam giác ABC cũng là 3,9 m.

Diện tích hình tam giác ABC ban đầu là:

3,5 × 3,9 : 2 = 6,825 (m²)

Đáp số: 6,825 m².

📖 Dạng 2: Bài toán vận dụng tỉ số diện tích

Phương pháp: Nhận diện hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chung cạnh đáy). Lập tỉ số giữa hai cạnh đáy (hoặc hai chiều cao) tương ứng để suy ra tỉ số diện tích giữa hai tam giác đó.

Ví dụ: Cho tam giác ABC. M là trung điểm của AB. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2EC. Tính diện tích tam giác AEM, biết diện tích tam giác ABC là 90 cm².

Bài giải

Nối BE.

Xét tam giác ABE và tam giác ABC, ta có:

Chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh AC.

Do AE = 2 × EC nên AE = \(\frac23\) AC.

Vậy nên diện tích tam giác ABE bằng \(\frac23\) diện tích tam giác ABC.

Vậy diện tích tam giác ABE là: 90 × \(\frac23\) = 60 (cm²)

Xét tam giác AEM và tam giác ABE, ta có:

Chung chiều cao hạ từ đỉnh E xuống cạnh AB.

AM = \(\frac12\) AB.

Vậy nên diện tích tam giác AME bằng \(\frac12\) diện tích tam giác ABE.

Vậy diện tích tam giác AME là: 60 × \(\frac12\) = 30 (cm²)

Đáp số: 30 cm².

📖 Dạng 3: Bài toán so sánh diện tích lồng ghép

Phương pháp: Khi hai đường thẳng cắt nhau bên trong tam giác tạo ra các vùng diện tích chéo nhau, ta không thể tính trực tiếp. Thay vào đó, ta tìm hai tam giác lớn có diện tích bằng nhau, sau đó cùng trừ đi phần diện tích chung ở giữa để chứng minh hai phần diện tích còn lại bằng nhau.

Ví dụ: Cho hình vẽ, biết AM = 2 MB, AN = 2 NC. Hãy so sánh diện tích của hai tam giác BOM và CON.

Bài giải

Vì AM = 2 MB nên đoạn MB = \(\frac13\) AB.

Xét tam giác CMB và tam giác CAB có chung chiều cao hạ từ C xuống AB, cạnh đáy MB = \(\frac13\) AB.

Vậy nên diện tích tam giác CMB = \(\frac13\) diện tích tam giác CAB. (1)

Vì AN = 2 MC nên đoạn NC = \(\frac13\) AC.

Xét tam giác BNC và tam giác BAC có chung chiều cao hạ từ B xuống AC, cạnh đáy NC = \(\frac13\) AC.

Vậy nên diện tích tam giác BNC = \(\frac13\) diện tích tam giác BAC. (2)

Từ (1) và (2), ta thấy: Diện tích tam giác CMB = Diện tích tam giác BNC (vì cùng bằng \(\frac13\) diện tích tam giác ABC).

Mặt khác, quan sát trên hình ta thấy:

Diện tích tam giác CMB = Diện tích tam giác OMB + Diện tích tam giác OBC.

Diện tích tam giác BNC = Diện tích tam giác ONC + Diện tích tam giác OBC.

Vậy thì diện tích tam giác OMB bằng diện tích tam giác ONC.