A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Trong thực tế, không phải lúc nào chúng ta cũng có sẵn thước kẻ, quả cân hay vạch chia thể tích chính xác để sử dụng. Bài toán "Cân - Đong - Đo" rèn luyện cho các em cách sử dụng những dụng cụ thô sơ nhất để lấy ra được số lượng chính xác theo yêu cầu.

Các em cần nhớ 4 dạng toán:

Đo chiều dài bằng dây:

Khi không có thước, ta sử dụng thao tác "gập đôi sợi dây". Mỗi lần gập đôi, chiều dài đoạn dây sẽ giảm đi một nửa (chia 2).

Cân bằng cân hai đĩa (Không có quả cân):

Cân hai đĩa thăng bằng nghĩa là khối lượng 2 bên bằng nhau. Ta đổ vật phẩm lên 2 đĩa sao cho cân thăng bằng, khi đó ta đã chia đôi được tổng khối lượng.

Cân bằng cân hai đĩa (Có quả cân):

Ghi nhớ nguyên tắc: Khối lượng đĩa bên trái = Khối lượng đĩa bên phải. Nếu cho quả cân vào chung đĩa với vật phẩm, ta đang cộng thêm khối lượng vào đĩa đó.

Tìm vật giả (Nhẹ hơn/ Nặng hơn):

Quy tắc chia 3: Hãy luôn chia số lượng đồ vật thành 3 phần bằng nhau (hoặc gần bằng nhau nhất) để mang đi cân.

B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Đo lường chiều dài bằng cách gập dây

Phương pháp giải: Đổi các đơn vị đo ra cùng một đơn vị nhỏ nhất. Thực hiện phép tính chia 2 liên tiếp để xem cần gập đôi sợi dây mấy lần để đạt được chiều dài mong muốn.

Ví dụ: Bạn Mai có một sợi dây ruy-băng dài 3 m 2 dm. Mai muốn cắt ra một đoạn dây dài đúng 8 dm để gói quà nhưng lại không có thước đo. Em hãy chỉ cho Mai cách cắt dây chính xác.

Bài giải

Đổi: 3 m 2 dm = 32 dm.

Ta nhận thấy: 32 : 2 = 16 (dm); 16 : 2 = 8 (dm). Vậy cách làm của Mai như sau:

Bước 1: Mai chập hai đầu sợi dây ruy-băng lại với nhau (gập đôi lần 1), vuốt thẳng sợi dây, lúc này chiều dài nếp gập là 32 : 2 = 16 (dm).

Bước 2: Mai tiếp tục giữ nguyên nếp gập đó, gập đôi sợi dây thêm một lần nữa (gập đôi lần 2). Chiều dài đoạn dây lúc này là 16 : 2 = 8 (dm).

Bước 3: Mai dùng kéo cắt đúng điểm gập là sẽ có ngay các đoạn dây dài chính xác 8 dm.

Dạng 2: Cân khối lượng bằng cân hai đĩa

Phương pháp giải: Ta dựa vào tính chất thăng bằng của cân hai đĩa. Có thể tự chia đôi vật phẩm, hoặc mượn quả cân kết hợp với vật phẩm.

Ví dụ 1: Có 8 kg đậu xanh và một chiếc cân hai đĩa. Không có quả cân nào. Làm thế nào để chỉ qua 2 lần cân, ta lấy ra được đúng 2 kg đậu xanh?

Bài giải

Lần cân 1: Ta chia 8 kg đậu xanh đổ từ từ lên 2 đĩa cân sao cho cân thăng bằng. Lúc này, mỗi đĩa cân sẽ chứa: 8 : 2 = 4 (kg) đậu xanh.

Lần cân 2: Ta lấy 4 kg đậu xanh ở một đĩa ra bỏ vào túi. 4 kg đậu xanh ở đĩa còn lại, ta tiếp tục chia đều sang 2 đĩa cân cho đến khi cân thăng bằng. Lúc này, số đậu xanh ở mỗi đĩa là: 4 : 2 = 2 (kg). Vậy ta đã lấy được đúng 2 kg đậu xanh sau 2 lần cân.

Ví dụ 2 (Có dùng quả cân): Có một bao gạo đựng 9 kg. Chỉ dùng một chiếc cân hai đĩa và đúng một quả cân loại 1 kg, làm thế nào để lấy ra được 4 kg gạo chỉ bằng 1 lần cân?

Bài giải

Tổng khối lượng của quả cân và số gạo là:

9 + 1 = 10 (kg)

Thực hiện cân: Ta đặt quả cân 1 kg lên đĩa cân bên trái. Sau đó, ta đổ từ từ 9 kg gạo lên cả hai đĩa cân (trái và phải) sao cho chiếc cân thăng bằng.

Giải thích: Khi cân thăng bằng, khối lượng ở 2 đĩa cân là bằng nhau và bằng một nửa tổng khối lượng: 10 : 2 = 5 (kg).

Vì đĩa cân bên trái đã có sẵn quả cân 1 kg, nên số lượng gạo nằm trên đĩa cân bên trái sẽ là: 5 − 1 = 4 (kg).

Ta lấy số gạo ở đĩa cân bên trái ra, đó chính là 4 kg gạo cần lấy!

Dạng 3: Đong chất lỏng bằng các can (bình) có thể tích khác nhau

Phương pháp giải: Các can (bình) này không có vạch chia, nên ta chỉ biết thể tích khi can đầy nước. Ta sẽ đổ nước qua lại giữa các can để tìm ra "độ lệch" (hiệu số) thể tích giữa chúng.

Ví dụ: Có một thùng chứa rất nhiều sữa tươi. Bác nông dân chỉ có hai chiếc can rỗng: một can loại 7 l và một can loại 3 l. Làm thế nào để bác đong được chính xác 1 l sữa?

Bài giải

Bác nông dân có thể thực hiện theo các bước đong sau:

Bước 1: Múc sữa đổ đầy can 7 l.

Bước 2: Từ can 7 l, đổ sữa sang can 3 l cho đến khi can 3 l đầy. (Lúc này, trong can 7 l còn lại: 7 − 3 = 4 (l).

Bước 3: Đổ hết sữa trong can 3 l trả lại vào thùng lớn.

Bước 4: Tiếp tục dùng can 7 l (đang chứa 4 l) đổ sang can 3 l cho đến khi can 3 l đầy. (Lúc này, trong can 7 l sẽ còn lại: 4 - 3 = 1 l sữa). Vậy bác nông dân đã lấy được chính xác 1 l sữa nằm trong can 7 l.

Dạng 4: Toán suy luận logic - Tìm vật nhẹ hơn/nặng hơn

Phương pháp giải: Đề bài thường cho một số lượng đồ vật giống hệt nhau, trong đó có 1 vật giả (nhẹ hơn hoặc nặng hơn). Bắt buộc phải áp dụng nguyên tắc chia 3 nhóm để tìm ra vật giả nhanh nhất.

Ví dụ: Có 9 chiếc nhẫn vàng có hình dáng và kích thước giống hệt nhau, tuy nhiên trong đó có 1 chiếc nhẫn giả bị làm thiếu vàng nên nhẹ hơn 8 chiếc nhẫn thật còn lại. Bằng một chiếc cân hai đĩa (không có quả cân), em hãy tìm ra chiếc nhẫn giả chỉ qua 2 lần cân.

Bài giải

Ta chia 9 chiếc nhẫn thành 3 nhóm, mỗi nhóm có 3 chiếc nhẫn (Nhóm 1, Nhóm 2, Nhóm 3).

Lần cân 1: Đặt Nhóm 1 và Nhóm 2 lên hai đĩa cân.

Trường hợp 1: Nếu cân thăng bằng, nghĩa là Nhóm 1 và Nhóm 2 đều là nhẫn thật. Chiếc nhẫn giả chắc chắn nằm ở Nhóm 3.

Trường hợp 2: Nếu đĩa cân lệch về phía nào cao hơn (nhẹ hơn) thì chiếc nhẫn giả nằm ở nhóm đó. Sau lần cân 1, ta đã xác định được chiếc nhẫn giả nằm trong một nhóm có 3 chiếc nhẫn. Đánh số 3 chiếc nhẫn này là Nhẫn A, Nhẫn B, Nhẫn C.

Lần cân 2: Đặt Nhẫn A và Nhẫn B lên hai đĩa cân.

Trường hợp 1: Nếu cân thăng bằng, Nhẫn C chính là nhẫn giả.

Trường hợp 2: Nếu đĩa cân nào nhô cao hơn (nhẹ hơn) thì chiếc nhẫn nằm trên đĩa đó chính là nhẫn giả. Như vậy, chỉ qua 2 lần cân, ta chắc chắn tìm được chiếc nhẫn giả.