I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Để giải tốt dạng toán này, các em cần ghi nhớ các quy tắc sau đây:
1. Quy tắc chung:
Phép cộng: Chữ số tận cùng của tổng hai số chỉ phụ thuộc vào chữ số tận cùng của hai số đó.
Phép trừ: Tương tự như phép cộng, chữ số tận cùng của hiệu hai số chỉ phụ thuộc vào chữ số tận cùng của hai số đó.
Phép nhân: Chữ số tận cùng của tích hai số chỉ phụ thuộc vào chữ số tận cùng của hai số đó.
Phép chia: Phép chia có chữ số tận cùng phức tạp hơn và cần xem xét các trường hợp cụ thể.
Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng đó.
Tổng 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ 9 có tận cùng bằng 5.
Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích đó.
Tích của a × a không thể có tận cùng là 2, 3, 7 hoặc 8.2. Các quy luật đặc biệt về chữ số tận cùng (khác 0):
2.1. Số có tận cùng là 1, 5, 6:
Tích của tất cả các thừa số có tận cùng là 1 thì có tận cùng là 1.
Tích của tất cả các thừa số có tận cùng là 5 thì có tận cùng là 5.
Tích của tất cả các thừa số có tận cùng là 6 thì có tận cùng là 6.
2.2. Quy luật về số lẻ và số 5:
Tích của các số có tận cùng là 5 với 1 số lẻ thì có tận cùng là 5.
Tích 1 × 3 × 5 × 7 × 9 có tận cùng bằng 5.
2.3. Quy luật về chữ số 4 và 9:
Tích của chẵn các thừa số có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 6.
Tích của lẻ các thừa số có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 4.
Tích của chẵn thừa số có tận cùng là 9 thì có tận cùng là 1.
Tích của lẻ thừa số có tận cùng là 9 thì có tận cùng là 9.
2.4. Nhóm 4 thừa số (Quy tắc chia nhóm):
Chữ số 2 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 (2 × 2 × 2 × 2 = 16 tận cùng là 6).
Chữ số 3 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 (3 × 3 × 3 × 3 = 81 tận cùng là 1).
Chữ số 7 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 (7 × 7 × 7 × 7 = 2 401 tận cùng là 1).
Chữ số 8 ở hàng đơn vị ta chia nhóm 4 (8 × 8 × 8 × 8 = 4 096 tận cùng là 6).
3. Chữ số tận cùng là chữ số 0:
Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả có tận cùng là chữ số 0.
Tích có ít nhất một thừa số tận cùng bằng 0 thì tích đó tận cùng là 0.
Trong một tích, cứ một cặp thừa số 2 × 5 cho ta một chữ số 0 tận cùng.
Các số 25, 50, 75 khi nhân với một số chia hết cho 4 sẽ tạo ra hai chữ số 0 tận cùng.
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU
📖 Dạng 1: Xác định chữ số tận cùng của một tích các số có quy luật
Phương pháp: Sử dụng công thức tính số thừa số trong tích. Sau đó dựa vào các số có chữ số tận cùng giống nhau để chia nhóm, sau đó xét.
Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của tích: 23 × 33 × 43 × ... × 223.
Bài giải
Số các thừa số trong tích trên là: (223 − 23) : 10 + 1 = 21 (thừa số).
Do cứ 4 thừa số có tận cùng là 3 lại tạo thành tích có tận cùng là 1 nên ta chia nhóm gồm 4 thừa số.
Ta có 21 : 4 = 5 (dư 1).
Suy ra chữ số tận cùng của tích trên bằng chữ số tận cùng của thừa số 223.
Vậy chữ số tận cùng của tích trên là 3.
Ví dụ 2: Tìm chữ số tận cùng của tích: 54 × 64 × 74 × ... × 884.
Bài giải
Số các thừa số của tích trên là: (884 − 54) : 10 + 1 = 84 (thừa số).
Do cứ 2 thừa số có tận cùng là 4 lại tạo thành tích có tận cùng là 6 nên ta chia nhóm gồm 2 thừa số.
Ta có: 84 : 2 = 42 (là số chẵn).
Tích của chẵn các thừa số có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 6. Vậy tích trên có tận cùng là 6.
📖 Dạng 2: Xác định số chữ số 0 tận cùng của một tích
Loại 2.1. Tích gồm các thừa số đều là số lẻ.
Phương pháp: Nếu trong tích có chứa thừa số 5 thì chữ số tận cùng của tích là 5. Nếu không chứa thừa số 5 thì tích không có chữ số 0 tận cùng.
Vậy nếu tích gồm các thừa số đều lẻ thì số chữ số 0 tận cùng là 0.
Ví dụ: Tích 21 × 23 × 25 × 27 × 29 × 31 × 33 × 35 × 37 × 39 có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Bài giải
Tích trên chỉ gồm các số lẻ và có chứa thừa số 5 nên chữ số tận cùng của tích là 5.
Vậy nên tích không có chữ số 0 tận cùng.
Loại 2.2. Tích có cả thừa số chẵn và thừa số lẻ nhưng không chứa thừa số 5, hoặc khi phân tích các thừa số cũng không xuất hiện thừa số 5
Phương pháp: Do không xuất hiện thừa số 5 nên tích đó không có chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ: Tích 3 × 12 × 7 × 9 × 23 × 32 × 8 có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Bài giải
Tích trên có thừa số chẵn nhưng không có thừa số 5 (kể cả khi phân tích). Vậy nên không thể tạo cặp (2 × 5) nên tích không có chữ số 0 tận cùng.
Loại 2.3. Tích có cả thừa số chẵn và thừa số lẻ, đồng thời có chứa thừa số 5 (trực tiếp hoặc sau khi phân tích).
Phương pháp: Chữ số 0 tận cùng của tích được tạo bởi các cặp 2 × 5. Số chữ số 0 tận cùng bằng số cặp 2 × 5 tạo được.
Xảy ra các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Số thừa số 2 bằng số thừa số 5. Thế thì số chữ số 0 tận cùng bằng số thừa số 2 (hoặc 5).
- Trường hợp 2: Số thừa số 2 ít hơn số thừa số 5. Thế thì số chữ số 0 tận cùng bằng số thừa số 2.
- Trường hợp 3: Số thừa số 5 ít hơn số thừa số 2. Thế thì số chữ số 0 tận cùng bằng số thừa số 5.
Các bước giải
Bước 1: Gom các thừa số chẵn và các thừa số có chứa 5 về một phía, các thừa số lẻ còn lại về phía khác.
Bước 2:
Phân tích các thừa số chứa 5 thành tích của 5 và các số khác.
Phân tích các thừa số chẵn về dạng chứa thừa số 2.
Bước 3: Ghép các thừa số 2 và 5 thành các cặp (2 × 5) → mỗi cặp tạo ra 1 chữ số 0.
Ví dụ: Tích 35 × 2 × 15 × 14 × 3 × 7 × 25 × 4 có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Bài giải
35 × 2 × 15 × 14 × 3 × 7 × 25 × 4
= 5 × 7 × 2 × 5 × 3 × 2 × 7 × 3 × 7 × 5 × 5 × 2 × 2
Phân tích và nhóm các thừa số tạo được 4 cặp (2 × 5).
Vậy tích trên có 4 chữ số 0 tận cùng.
Ví dụ: Tích 1 × 2 × 3 × 4 × ... × 99 × 100 có tận cùng là bao nhiêu chữ số 0?
Bài giải
Trong dãy số tự nhiên từ 1 tới 100 có các số chia hết cho 5 là: 5; 10; 15;...; 100.
Dãy trên có: (100 − 5) : 5 + 1 = 20 (số).
Trong đó các số 25, 50, 75 và 100 có thể phân tích thành tích của hai số 5 (nên mỗi số này đóng góp thêm một thừa số 5).
Vậy tổng số thừa số 5 là: 20 + 4 = 24.
Vậy tích trên có tận cùng là 24 chữ số 0.
📖 Dạng 3: Xác định chữ số tận cùng của một biểu thức
Ví dụ 1: Không thực hiện phép tính, hãy cho biết chữ số hàng đơn vị của kết quả sau:
(2 011 + 2 012 + 2 013 + ... + 2 019) − (21 + 32 + 43 + ... + 98 + 19)
Bài giải
Ta thấy cả hai ngoặc đều có tận cùng là tận cùng của tổng (1 + 2 + 3 + ... + 9), hay có tận cùng là 5.
Do đó hiệu có tận cùng là 5 − 5 = 0.
Ví dụ 2: Không cần thực hiện phép tính, hãy kiểm tra kết quả của các phép tính sau đây là đúng hay sai? Giải thích tại sao?
a) 255 + 477 + 901 = 1 632
b) 246 + 588 + 314 = 1 149
c) 453 × 7 = 3 170
Bài giải
a) Kết quả trên là sai. Ta thấy 255, 477 và 901 đều là các số lẻ. Theo quy tắc, tổng của ba số lẻ phải là một số lẻ . Mà 1 632 là một số chẵn, nên kết quả này không thể đúng.
b) Kết quả trên là sai. Do 246, 588 và 314 đều là các số chẵn. Theo quy tắc, tổng của các số chẵn luôn luôn là một số chẵn. Mà $1149$ lại là một số lẻ, nên kết quả này chắc chắn sai.
c) Kết quả trên là sai. Do 453 và 7 đều là các số lẻ. Tích của hai số lẻ phải cho kết quả là một số lẻ. Tuy nhiên, 3 170 là một số chẵn. Ngoài ra, nếu xét chữ số tận cùng: 3 × 7 = 21, nên tích phải có chữ số tận cùng là 1, không thể là $0$.
