I. TÓM TẮT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9
Chia hết cho 2: Các số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6 hoặc 8 (các số chẵn).
Chia hết cho 5: Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
Chia hết cho cả 2 và 5: Số có chữ số tận cùng là 0.
Chia hết cho 3: Tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.
Chia hết cho 9: Tổng các chữ số của số đó chia hết cho 9.
Lưu ý: Số chia hết cho 9 thì chắc chắn chia hết cho 3, nhưng số chia hết cho 3 chưa chắc đã chia hết cho 9.
2. Dấu hiệu chia hết cho 4; 8; 25; 125
Chia hết cho 4 hoặc 25: Hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 4 hoặc 25.
Chia hết cho 8 hoặc 125: Ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 8 hoặc 125.
3. Dấu hiệu chia hết dạng kép
Chia hết cho 6: Chia hết cho cả 2 và 3.
Chia hết cho 12: Chia hết cho cả 3 và 4.
Chia hết cho 15: Chia hết cho cả 3 và 5.
Chia hết cho 18: Chia hết cho cả 2 và 9.
Chia hết cho 36: Chia hết cho cả 4 và 9.
Chia hết cho 45: Chia hết cho cả 5 và 9.
4. Dấu hiệu chia hết cho 7; 11; 13
Dấu hiệu chia hết cho 7: Lấy chữ số đầu tiên nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo, được bao nhiêu lại nhân với 3 rồi cộng thêm chữ số tiếp theo... cứ như vậy cho đến chữ số cuối cùng của số cần nhận biết. Nếu kết quả cuối cùng này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7.
Ví dụ: Số cần nhận biết là 308: Lấy 3 × 3 = 9 ⇒ 9 + 0 = 9 ⇒ 9 × 3 = 27 ⇒ 27+ 8 = 35 chia hết cho 7.
Vậy 308 chia hết cho 7.
Dấu hiệu chia hết cho 11: Tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ là một số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11.
Số \(\overline{abcde}\) có: (b + d) − (a + c + e) chia hết cho 11 thì \(\overline{abcde}\) chia hết cho 11.
Ví dụ: Số 352 418 có (5 + 4 + 8) − (3 + 2 + 1) = 11 nên số này chia hết cho 11. Thật vậy 352 418 = 32 038 × 11.
Dấu hiệu chia hết cho 13: Tổng của số tạo bởi các chữ số đứng trước số tận cùng với 4 lần chữ số tận cùng chia hết cho 13 (có thể làm nhiều lần cho tới khi chắc chắn chia hết cho 13).
Số \(\overline{abcde}\) có: a + b + c + d + 4e chia hết cho 13 thì \(\overline{abcde}\) chia hết cho 13.
Ví dụ: Số 273 có 27 + 4 × 3 = 27 + 12 = 39 chia hết cho 13.
Vậy 273 chia hết cho 13.
5. Tính chất chia hết của một tổng và một hiệu
Nếu tất cả số hạng của một tổng đều chia hết cho m thì tổng chia hết cho m.
Nếu chỉ có một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m thì tổng không chia hết cho m.
Tính chất tương tự áp dụng cho hiệu.
II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU
📖 Dạng 1: Viết số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Phương pháp: Dựa vào yêu cầu bài toán (số chữ số, khác nhau hay giống nhau, tính chất chia hết) để chọn các chữ số phù hợp.
Ví dụ 1: Cho 3 chữ số 1, 2, 0. Viết các số có ba chữ số khác nhau chia hết cho 2.
Bài giải
Để số tìm được chia hết cho 2 thì số đó phải là số chẵn. Vậy thì tận cùng phải là 0 hoặc 2.
Từ đó ta lập được các số có ba chữ số thoải mãn là: 120, 210, 102.
Ví dụ 2: Viết số lớn nhất có năm chữ số khác nhau chia hết cho 5.
Bài giải
Để viết được số lớn nhất, hàng chục nghìn phải là 9, tiếp theo là 8, 7, 6. Do số cần tìm chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng phải là 0 hoặc 5. Vì cần số lớn nhất nên ta chọn chữ số 5.
Vậy số cần tìm là 98 765.
📖 Dạng 2: Tìm các chữ số chưa biết của số tự nhiên theo dấu hiệu chia hết
Phương pháp: Dựa vào các dấu hiệu chia hết của các số tự nhiên để thiết lập mối quan hệ giữa các chữ số trong số đó.
Lưu ý: Trong các dấu hiệu chia hết ta ưu tiên xét dấu hiệu chia hết cho 2 và cho 5 trước, sau đó đến dấu hiệu chia hết cho 3, 9 và các dấu hiệu còn lại.
Ví dụ 1: Tìm x, y để số \(\overline{2x51y}\) chia hết cho cả 2, 5 và 9.
Bài giải
Để số \(\overline{2x51y}\) chia hết cho cả 2 và 5 thì y = 0. Ta được số \(\overline{2x510}\).
Để số \(\overline{2x510}\) ⋮ 9 thì (2 + x + 5 + 1 + 0) ⋮ 9 hay (8 + x) ⋮ 9.
Do x là chữ số nên x = 1.
Vậy ta tìm được số 21 510.
Ví dụ 2: Tìm x, y để \(\overline{12x3y}\) chia hết cho 45.
Bài giải
Số \(\overline{12x3y}\) chia hết cho 45 tức là số đó chia hết cho cả 5 và 9.
Để số \(\overline{12x3y}\) ⋮ 5 thì y = 0 hoặc y = 5.
Với y = 0, ta được số \(\overline{12x30}\). Để \(\overline{12x30}\) ⋮ 9 thì (1 + 2 + x + 3 + 0) ⋮ 9 hay (6 + x) ⋮ 9. Vậy x = 3. Ta được số 12 330.
Với y = 5, ta được số \(\overline{12x35}\). Để \(\overline{12x35}\) ⋮ 9 thì (1 + 2 + x + 3 + 5) ⋮ 9 hay (11 + x) ⋮ 9. Vậy x = 7. Ta được số 12 735.
Đáp số: 12 330 hoặc 12 735.
📖 Dạng 3: Các bài toán về vận dụng tính chất chia hết của một tổng và một hiệu
Phương pháp: Vận dụng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu.
Không thực hiện phép tính, hãy cho biết các tổng và hiệu sau đây có chia hết cho 9 hay không?
a) 540 + 234
b) 3564 − 485
Bài giải
a) Ta thấy 540 và 234 đều có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên 2 số này đều chia hết cho 9.
Do cả hai số hạng đều chia hết cho 9 nên tổng 540 + 234 chia hết cho 9.
b) Ta thấy số 3 564 có tổng các chữ số là 18 chia hết cho 9 nên 3 564 chia hết cho 9.
Số 485 có tổng các chữ số là 17 không chia hết cho 9 nên 485 không chia hết cho 9.
Vì có một số không chia hết cho 9 nên hiệu 3 564 − 485 không chia hết cho 9.
📖 Dạng 4: Các bài toán về phép chia có dư
Phương pháp: Nhớ rằng số a chia m dư r thì (a − r) ⋮ m.
Nếu số a chia 2 dư 1 thì a có chữ số tận cùng là các chữ số lẻ, tức là 1; 3; 5; 7; 9.
Nếu số a chia 5 dư 1 thì a có tận cùng là 1 hoặc 6; a chia 5 dư 2 thì a có tận cùng là 2 hoặc 7; a chia 5 dư 3 thì a có tận cùng là 3 hoặc 8; a chia 5 dư 4 thì a có tận cùng bằng 4 hoặc 9.
Tổng các chữ số của 1 số tự nhiên khi chia cho 3; cho 9 dư bao nhiêu thì số đó chia cho 3; chia cho 9 dư bấy nhiêu.
Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2.
Nếu a : b dư b − 1 thì a + 1 chia hết cho b.
Nếu a : b dư 1 thì a − 1 chia hết cho b.
Ví dụ 1: Thay a bằng chữ số thích hợp để số \(\overline{68a}\):
a) Chia 2 dư 1.
b) Chia 5 dư 3.
Bài giải
a) Để \(\overline{68a}\) chia 2 dư 1 thì a là số lẻ. Vậy a = 1; 3; 5; 7; 9.
b) Để \(\overline{68a}\) chia 5 dư 3 thì a chia cho 5 cũng dư 3. Do a là chữ số nên a = 3 hoặc a = 8.
Ví dụ 2: Tìm số nhỏ nhất có ba chữ số chia 5 dư 2 và chia 3 dư 1.
Bài giải
Gọi số cần tìm là \(\overline{abc}\) (0 < a < 9, b, c < 9)
Do \(\overline{abc}\) chia 5 dư 2 nên c = 2 hoặc c = 7.
Xét c = 2. Cần tìm số nhỏ nhất nên ta chọn a = 1. Ta được số \(\overline{1b2}\). Do \(\overline{1b2}\) chia 3 dư 1 nên \(\overline{1b1}\) ⋮ 3 hay (2 + b) ⋮ 3. Do b là chữ số nên b = 1, 4, 7.
Cần tìm số nhỏ nhất nên ta chọn số 112.
Xét c = 7. Cần tìm số nhỏ nhất nên ta chọn a = 1. Ta được số \(\overline{1b7}\). Do \(\overline{1b7}\) chia 3 dư 1 nên \(\overline{1b6}\) ⋮ 3 hay (7 + b) ⋮ 3. Do b là chữ số nên b = 2, 5, 8.
Cần tìm số nhỏ nhất nên ta chọn số 127.
Vậy số bé nhất thỏa mãn là 112.
