Quay lại giao diện cũ
Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đường cao BE và CF cắt nhau ở H. Gọi D là trung điểm của BC.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, F, E, C nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng bốn điểm D, H, E, C nằm trên một đường tròn.
c) Tìm tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, F, D, C.
Hướng dẫn giải
a) Nối F và E với D. Vì FD và ED là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông BFC và CEB nên: DB = DF = DE = DC. Do đó, bốn điểm B, F, E, C nằm trên đường tròn $\left(D;\frac{BC}{2}\ \right)$.
b) Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường cao, do đó AD đi qua H và $\widehat{ADC}={90}^\circ$. Gọi I là trung điểm của HC thì DI và EI là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền HC của các tam giác vuông HDC và HEC. Ta có ID = IH = IE = IC nên bốn điểm D, H, E, C nằm trên đường tròn $\left(I\ ;\frac{HC}{2}\right)$.
c) Gọi K là trung điểm của AC. Tương tự câu a) ta có bốn điểm A, F, D, C nằm trên đường tròn $\left(K;\frac{AC}{2}\right)$.
Trên các cạnh AB, BC, CD và DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các điểm E, F, G, H sao cho AE = BF = CG = DH. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở O.
a) Chứng minh rằng ba điểm F, O, H thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng điểm O cách đều bốn điểm E, F, G, H.
c) Biết $\widehat{BEC}={60}^\circ$, BC=6cm, tính BE.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh được BF = DH $\Rightarrow$ BFDH là hình bình hành (vì BF // DH). Do đó O thuộc FH (vì O phải là giao điểm của hai đường chéo).
b) Dễ thấy $\Delta BEF=\Delta CFG$ (cgv – cgv) nên EF = FG.
Tương tự, FG = GH, GH = HE $\Rightarrow$ EF = FG = GH = HE. Suy ra EFGH là hình vuông.
Tương tự phần a) ta chứng minh được O thuộc EG. Từ đó, O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông EFGH nên O cách đều E, F, G, H.
c) $BE=BC .\cot{{60}^\circ}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$.
Tìm tập hợp các trọng tâm của tam giác ABC có cạnh BC cố định, đường trung tuyến AM có độ dài không đổi m.
Hướng dẫn giải
Quan sát: Điểm G cách trung điểm M của BC (cố định) một khoảng cố định bằng $\dfrac{m}{3}$.
Kết luận: quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC là đường tròn $(G , \dfrac{m}{3})$ trừ các giao điểm của đường tròn với BC (do G không thể thuộc BC).
Tìm tập hợp các đỉnh C của tam giác ABC có cạnh AB cố định, đường trung tuyến AM có độ dài không đổi bằng m.
Hướng dẫn giải
Ý tưởng: Cần tìm điểm cố định sao cho C cách điểm đó một khoảng cố định.
Dựng điểm D đối xứng với B qua A, khi đó D là điểm cố định, AM là đường trung bình của tam giác BCD, CD = 2AM = 2m (cố định)
Kết luận: Quỹ tích điểm C là đường tròn (D ; 2m), trừ các giao điểm của nó với đường thẳng AB (khi đó tam giác ABC trở thành đoạn thẳng)