A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Trong thực tế, khi gặp các phân số có tử số và mẫu số rất lớn, các em không cần và không nên quy đồng tử số hay mẫu số vì sẽ tốn rất nhiều thời gian. Thay vào đó, chúng ta sẽ áp dụng các mẹo tư duy nhanh dựa trên các quy tắc sau:

1. Ôn tập quy tắc cơ bản:

Nếu hai phân số cùng mẫu số: Tử số bé hơn thì phân số đó bé hơn, tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Nếu hai phân số cùng tử số: Mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn, mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.

2. Các quy tắc mở rộng (Rất quan trọng):

Quy tắc Phần bù (Phần thiếu):

Khi so sánh hai phân số bé hơn 1, phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó bé hơn, và ngược lại.

Quy tắc Phần thừa:

Khi so sánh hai phân số lớn hơn 1, phân số nào có phần thừa so với 1 lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Sử dụng số trung gian:

Ta có thể dùng số 1 hoặc một phân số đơn giản khác làm cầu nối để so sánh hai phân số một cách gián tiếp.

B. PHÂN DẠNG BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Dùng số 1 làm trung gian

Phương pháp giải: Một phân số có tử lớn hơn mẫu (tức là phân số > 1), và một phân số có tử bé hơn mẫu (tức là phân số < 1). Khi đó ta so sánh từng phân số với số 1, từ đó so sánh được 2 phân số.

Ví dụ: So sánh hai phân số \(\frac{2025}{2026}\) và \(\frac{2024}{2023}\).

Bài giải

Vì \(\frac{2025}{2026}<1;\frac{2024}{2023}>1\) nên \(\frac{2025}{2026}<\frac{2024}{2023}\).

Dạng 2: Dùng một phân số làm trung gian

Phương pháp giải: Tử số và mẫu số của phân số này đều bé hơn (hoặc lớn hơn) tử và mẫu của phân số kia. Ta sẽ ghép tử số của phân số này với mẫu số của phân số kia để tạo ra phân số trung gian, hoặc tìm một phân số chuẩn (như \(\frac13\), \(\frac12\)) nằm giữa hai phân số.

Ví dụ 1: So sánh hai phân số \(\frac{15}{37}\) và \(\frac{18}{31}\).

Bài giải

Xét phân số trung gian là \(\frac{15}{31}\) (lấy tử số của phân số thứ nhất ghép với mẫu số của phân số thứ hai).

Vì \(\frac{15}{37}<\frac{15}{31}\) và \(\frac{15}{31}<\frac{18}{31}\) nên suy ra \(\frac{15}{37}<\frac{18}{31}\). (Hoặc cũng có thể dùng \(\frac{18}{37}\) làm trung gian).

Ví dụ 2: So sánh hai phân số \(\frac38\) và \(\frac{4}{13}\).

Bài giải

Ta thấy cả hai phân số \(\frac38\) và \(\frac{4}{13}\) đều có giá trị gần bằng \(\frac13\), nên ta chọn \(\frac13\) làm phân số trung gian.

Ta có: \(\frac38>\frac39\) hay \(\frac38>\frac13\)(1).

Mặt khác: \(\frac{4}{13}<\frac{4}{12}\) hay \(\frac{4}{13}<\frac13\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac38>\frac{4}{13}\).

Dạng 3: So sánh bằng "Phần bù của đơn vị"

Đây là dạng toán áp dụng cho các phân số bé hơn 1 (Tử < Mẫu). Điều kiện đủ là ta phải đi tìm hiệu giữa mẫu số và tử số. Dạng này chia làm 3 trường hợp nhỏ:

Trường hợp 3.1: Hiệu giữa mẫu và tử của các phân số bằng nhau.

Ví dụ: So sánh \(\frac{2025}{2026}\) và \(\frac{2026}{2027}\).

Bài giải

Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của hai phân số trên đều bằng 1 (2 026 − 2 025 = 1; 2 027 − 2 026 = 1).

Ta tìm phần bù của đơn vị:

\(1-\frac{2025}{2026}=\frac{1}{2026};1-\frac{2026}{2027}=\frac{1}{2027}\)

Vì \(\frac{1}{2026}>\frac{1}{2027}\) nên \(\frac{2025}{2026}<\frac{2026}{2027}\).

Trường hợp 3.2: Hiệu giữa mẫu và tử gấp nhau n lần.

Ví dụ: So sánh \(\frac{1006}{1007}\) và \(\frac{2013}{2015}\).

Bài giải

Hiệu của phân số thứ nhất là 1, hiệu của phân số thứ hai là 2 (Hiệu 2 gấp 2 lần hiệu 1).

Để hai hiệu bằng nhau, ta nhân cả tử và mẫu của phân số thứ nhất với 2:

\(\frac{1006}{1007}=\frac{1006\times2}{1007\times2}=\frac{2012}{2014}\)

Bây giờ tìm phần bù của hai phân số mới:

\(1-\frac{2012}{2014}=\frac{2}{2014};1-\frac{2013}{2015}=\frac{2}{2015}\);

Lại có \(\frac{2}{2024}>\frac{2}{2025}\) nên \(\frac{2012}{2014}<\frac{2013}{2015}\) hay \(\frac{1006}{1007}<\frac{2013}{2015}\).

Trường hợp 3.3: Tử và mẫu có dạng lặp lại các nhóm chữ số.

Ví dụ: So sánh \(\frac{2525}{2626}\) và \(\frac{20252025}{20262026}\).

Bài giải

Ta dùng tính chất rút gọn phân số trước:

\(\frac{2525}{2626}=\frac{2525:101}{2626:101}=\frac{25}{26};\frac{20252025}{20262026}=\frac{20252025:10001}{20262026:10001}=\frac{2025}{2026}\)

Lại có: \(1-\frac{25}{26}=\frac{1}{26};1-\frac{2025}{2026}=\frac{1}{2026}\)

Mà \(\frac{1}{26}>\frac{1}{2026}\) nên \(\frac{25}{26}<\frac{2025}{2026}\)

Hay \(\frac{2525}{2626}<\frac{20252025}{20262026}\).

Dạng 4: So sánh bằng phần thừa (so với 1)

Phương pháp giải: Áp dụng khi cả hai phân số đều lớn hơn 1 (Tử > Mẫu) và hiệu của tử và mẫu của hai phân số đều bằng nhau.

Ví dụ: So sánh \(\frac{79}{76}\) và \(\frac{86}{83}\).

Bài giải

Ta tách 1 đơn vị ra:

\(\frac{79}{76}=1+\frac{3}{76};\frac{86}{83}=1+\frac{3}{83}\)

Vì \(\frac{3}{76}>\frac{3}{83}\) nên phần thừa của phân số thứ nhất lớn hơn. Vậy nên : \(\frac{79}{76}>\frac{86}{83}\).

Dạng 5: Đảo ngược phân số để so sánh

Đặc điểm: Cả hai phân số đều có tử bé hơn mẫu. Đặc biệt, nếu lấy mẫu số chia cho tử số thì ta sẽ được thương và số dư ở cả hai phân số đều giống hệt nhau. Khi đó ta đảo ngược để so sánh.

Ví dụ: So sánh \(\frac{21}{89}\) và \(\) \(\frac{2003}{8017}\).

Bài giải

Ta thấy ở hai phân số trên, nếu lấy mẫu chia cho tử thì đều được thương bằng 4 và dư 5.

Ta tiến hành đảo ngược phân số (lấy 1 chia cho phân số đó):

\(1:\frac{21}{89}=\frac{89}{21}=4+\frac{5}{21}\);

\(1:\frac{2003}{8017}=\frac{8017}{2003}=4+\frac{5}{2003}\).

Vì \(\frac{5}{21}>\frac{5}{2003}\) nên \(\frac{89}{21}>\frac{8017}{2003}\).

Lưu ý kĩ: Trong phép chia có số bị chia bằng nhau (ở đây là 1), phép chia nào có thương lớn hơn thì số chia phải nhỏ hơn.

Vậy nên \(\frac{21}{89}<\frac{2003}{8017}\).