Quay lại giao diện cũ
Phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình vô tỉ
Giải các phương trình:
a) \(1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x}}}=x;\)
b) \(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{\left(x+2\right)^2}=\dfrac{5}{16};\)
c) \(\dfrac{1}{x\left(x+2\right)}-\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}=\dfrac{1}{12}.\)
Hướng dẫn giải
a) Đưa về dạng $x^2-x-1=0$;
b) Đặt $y=x+1$;
c) Đặt $y = x^2 + 2x$;
Giải các phương trình:
a) \(\sqrt{x+2}=4-x;\)
b) \(\sqrt{x^2+1}=5-x^2.\)
Hướng dẫn giải
Chú ý đặt điều kiện và thử lại các giá trị tìm được vào phương trình.
Giải các phương trình:
a) \(\sqrt{14-x}+\sqrt{2-x}=6;\)
b) \(\sqrt{x+3}-\sqrt{x-5}=2\).
Hướng dẫn giải
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, chú ý phương trình nhận được sau khi bình phương có tương đương với phương trình ban đầu không? Nếu không phải thử các giá trị tìm được để kết luận nghiệm.
Giải các phương trình
a) \(1+\sqrt{x^2-2x+6}=2x;\)
b) \(\sqrt{x^2+7}-\sqrt{x^2-8}=2.\)
Hướng dẫn giải
a) Đưa về dạng \(\sqrt{x^2-2x+6}=2x-1\) rồi bình phương hai vế.
b) Chuyển vế rồi bình phương hai vế.
Chú ý về điều kiện và thử lại để loại giá trị không thỏa mãn.
Giải các phương trình
a) \(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=1;\)
b) \(\sqrt{x+\sqrt{x+5}}+\sqrt{x-\sqrt{x+5}}=2\sqrt{2}.\)
Hướng dẫn giải
a) Chú ý rằng \(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=\left|\sqrt{x-2}-1\right|.\)
b) Điều kiện: $x\ge -5$.
Bình phương hai vế ta được
\(x+\sqrt{x^2-x-5}=4\Leftrightarrow\sqrt{x^2-x-5}=4-x.\)
với $x\le 4$ (1), ta bình phương hai vế của phương trình và giải, sau đó so sánh giá trị tìm được với điều kiện (1).
Đáp số: $x=3$.
Giải các phương trình:
a) \(\dfrac{1}{x-1+\sqrt{x^2-2x+3}}+\dfrac{1}{x-1-\sqrt{x^2-2x+3}}=1;\)
b) \(\dfrac{3}{x+\sqrt{9-x^2}}-\dfrac{2}{3-\sqrt{9-x^2}}=\dfrac{1}{x}.\)
Hướng dẫn giải
a) Quy đồng mẫu được \(\dfrac{2x-2}{-2}=1.\)
b) Quy đồng mẫu được \(\dfrac{3-5\sqrt{9-x^2}}{x^2}=\dfrac{1}{x}\Leftrightarrow\dfrac{3-5\sqrt{9-x^2}}{x^2}=\dfrac{x}{x^2}.\)
Giải các phương trình
a) \(\sqrt[3]{x-5}+\sqrt[3]{x+2}=3;\)
b) \(\sqrt[3]{x}+\sqrt{x+1}=5.\)
Hướng dẫn giải
a) Đặt \(a=\sqrt[3]{x-5};b=\sqrt[3]{x+2}\) được $a+b=3$.
Tính $b^3 - a^3$.
a) Đặt \(a=\sqrt[3]{x};b=\sqrt{x+1}\) được $a+b=5$.
Tính $b^2-a^3$.
Giải các phương trình sau bằng phương pháp nhân thêm lượng liên hợp.
a) \(\sqrt{3x+1}+2x=\sqrt{x-4}-5;\)
b) \(\sqrt{3x+5}+x=6+\sqrt{2x+11};\)
c) \(\sqrt{x^2+5x+5}+x^2=\sqrt{x+2}-3x-2.\)
Hướng dẫn giải
Chú ý so sánh giá trị tìm được với điều kiện của phương trình.
a) \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4}=\dfrac{2x-5}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{x-4}}.\)
b) Tương tự câu a).
c) \(\sqrt{x^2+5x+5}-\sqrt{x+2}=\dfrac{x^2-4x+3}{\sqrt{x^2+5x+5}+\sqrt{x+2}}.\)
Chuyển vế để vế phải bằng $0$, vế trái có nhân tử $x-1$.
Điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+5x+5\ge0\\x+2\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ge\dfrac{-5+\sqrt{5}}{2}.\)
Dựa vào điều kiện này chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$.