Quay lại giao diện cũ
Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn, $\hat{A}={60}^\circ$. Kẻ hai đường cao $BE$ và $CF$.
a) Chứng minh $\Delta AEF\backsim\Delta ABC$;
b) Cho $EF=5cm$, tính $BC$.
c) Cho $S_{ABC}=100 cm^2$.Tính $S_{AEF}$.
Hướng dẫn giải
a) Chứng minh được $AEB \backsim AFC$, từ đó có $\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AF}{AC}$.
Ta có: $\Delta AEF\backsim\Delta ABC$ (g.c.g).
b) Từ câu a) suy ra $\frac{EF}{BC}=\frac{AE}{AB}= \cos{A}=\cos{{60}^\circ}=\frac{1}{2}$.
Suy ra $BC = 10cm$.
c) $\frac{S_{AEF}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AE}{AB}\right)^2=\cos^2{A}=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{AEF}=\frac{1}{4}S_{ABC}=25\ cm^2$.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi AD là phân giác trong của tam giác AHC.
a) Chứng minh tam giác BAD là tam giác cân;
b) Cho BC = 25cm, HD = 6cm. Tính AB.
Hướng dẫn giải
a) Có $\widehat{BAD}={90}^\circ-\widehat{A_1};\ \widehat{BDA}={90}^\circ-\widehat{A_2}$.
Mà $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BDA}$. Do đó $\Delta BAD$ cân tại B.
b) Đặt $AB=x$ $(6 <x<25)$ thì $BD=x$, $BH = x-6$.
$BH.BC=AB^2\Rightarrow\left(x-6\right).25=x^2\Leftrightarrow x^2-25x+150=0 \Leftrightarrow x=10$ hoặc $x=15$.
Vậy $AB = 10cm$ hoặc $AB = 15cm$.
Cho tam giác ABC, $\hat{B}={45}^o,$ $\hat{C}={30}^o,$ $BC=10cm$. Tính $AB$ và $AC$.
Hướng dẫn giải
Hạ $AH\bot BC$. Đặt $BH=x$ $\left(0<x<10\right)$ $\Rightarrow AH=x,$ $HC=10-x$.
$AH=HC.\tan{{30}^\circ}\Leftrightarrow x=\left(10-x\right)\frac{1}{\sqrt3} \Leftrightarrow\left(\sqrt3+1\right)x=10$
$\Leftrightarrow\left(\sqrt3+1\right)x=10\Leftrightarrow x=\frac{10}{\sqrt3+1}=5\left(\sqrt3-1\right).$
Suy ra $AH = 5(\sqrt{3}-1)$.
$AC=\frac{AH}{\sin{C}}=\frac{AH}{\sin{{30}^o}}=2.AH=10\left(\sqrt3-1\right)\ cm.$