Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, đáy lớn $AB=9$, $AD=CD=3$. Mặt bên $(SAB)$ là tam giác cân tại $S$, $SA=6$. Mặt phẳng $(\alpha)$ di động và song song với $(SAB)$ đồng thời cắt các cạnh $AD,\,BC,\,SC,\,SD$ theo thứ tự tại $M,\,N,\,P,\,Q$. Biết $MN+PQ=MQ+NP$. Độ dài đoạn thẳng $AM$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Gọi $M,\,N,\,P$ là các điểm lần lượt thuộc các đoạn $A'B',\,AB,\,CC'$ sao cho $\dfrac{MA'}{MB'}=\dfrac{NB}{NA}=\dfrac{PC'}{PC}=\dfrac12$. Tỉ số $\dfrac{C'Q}{C'B'}$, trong đó $Q$ là giao điểm của $(MNP)$ với $BC$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

Trả lời:

Cho tứ diện $ABCD$, trên cạnh $AB$ lấy điểm $M$ sao cho $AM=\dfrac13AB$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ song song với $BD$ và $AC$, cắt cạnh $CD$ tại $P$. Biết tỉ số $\dfrac{PC}{PD}=\dfrac{a}{b}$ với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a,b\in \mathbb{N}$. Tổng $a^2+b^2$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm cạnh $CD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$, $CDA$. Gọi $G$ là giao điểm của $AM$ và $BN$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $DAB$, $ABC$. Biết $\dfrac{GP}{GC}=\dfrac{GQ}{GD}=\dfrac{a}{b}$ (với $\dfrac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tổng $a+b$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M,\,N$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $SB$ và $SC$ sao cho $MS=2MB,\,NS=NC$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $(AMN)$ và $(SAD)$cắt $SD$ tại $K$. Tỉ số $\dfrac{SK}{SD}$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

Trả lời:

Một khối gỗ có mặt bên $ABFE$ và mặt đáy $ABCD$ là các hình bình hành. Các cạnh $EH//AD,\,EF//AB,\,FM//BC,\,CK//DH$. Khối gỗ bị hỏng một góc.

Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng $(P)$ đi qua $K$ và song song với $BC$ và $CD$. Gọi $I,\,J$ lần lượt là giao điểm $DH$ và $BF$ với mặt phẳng $(P)$. Biết $DH=75$ cm, $CK=40$ cm và $BJ-JF=4$ cm. Đoạn $FJ$ có độ dài bao nhiêu cm?

Trả lời:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tứ giác lồi $ABCD$. Trên cạnh $AD$ lấy điểm $M$ sao cho $DA=6DM$ và trên cạnh $CD$ lấy điểm $N$ sao cho $ND=x.NC,\,x>0$. Giá trị $x$ bằng bao nhiêu để $MN//(SAC)$? (làm tròn đến chữ số hàng phần mười)

Trả lời:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang với $AD//BC$ và $AD=3BC$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $I$ là điểm thuộc đoạn $SC$ sao cho $\dfrac{CI}{CS}=x$. Giá trị của $x$ bằng bao nhiêu để $OI//(SAD)$? (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm).

Trả lời:

Cho hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi $M$, $N$ lần lượt là các điểm trên $AE$ và $BD$ sao cho $AM=\dfrac13.AE$ và $BN=\dfrac{1}{x}.BD$, với $x>0$. Để đường thẳng $MN$ song song với mặt phẳng $(CDFE)$ thì giá trị của $x$ là bao nhiêu?

Trả lời:

Một chiếc bánh có dạng hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $N$ là trung điểm của cạnh $SC$. Lấy điểm $M$ đối xứng với $B$ qua $A$. Gọi giao điểm $G$ của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(SAD)$. Tỉ số $\dfrac{GM}{GN}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Một ngôi nhà có hình dạng lăng trụ tam giác như hình vẽ.

Biết chiều cao căn nhà là $8,9$ m, chiều rộng căn nhà là $8$ m và chiều dài là $10$ m. Cách mặt đất $2,5$ m người ta đồ một sàn bê tông dọc theo vừa đúng chiều dài của căn nhà.

Biết sàn bê tông dày $24$ cm, diện tích mặt trên của sàn bê tông đó bằng bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến $1$ chữ số thập phân sau dấu phẩy).

Trả lời:

Trong không gian cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $K$ là giao điểm của $AC'$ và mặt phẳng $(A'BD)$. Tỉ số $\dfrac{AC'}{AK}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời: