Tính giá trị của các biểu thức sau một cách hợp lí (nếu có thể):

Tìm các số nguyên $x$, biết:

Tìm các số có dạng $\overline{63a5b}$ sao cho khi chia cho cả $4$ và $7$ đều có số dư bằng $1$.

Tìm tất cả các số $\overline{ab}$ sao cho $\overline{ab} \cdot 63$ là một số chính phương.

Chứng tỏ rằng $A = 16 \cdot (5^{2\,021} + 5^{2\,020} + \dots + 5^2 + 5) + 20$ chia hết cho $100$.

Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p + 6, \, p + 12, \, p + 18, \, p + 24$ cũng là các số nguyên tố.

Trong một hộp kín có $100$ tấm thẻ được đánh số thứ tự từ $1$ đến $100$. Bạn Nam thực hiện lấy ngẫu nhiên một thẻ từ hộp, ghi lại số của thẻ rồi trả lại vào hộp. Sau $N$ lần thực hiện liên tiếp, Nam thu được dữ liệu thống kê như sau:

- Số lần rút được thẻ mang số là số nguyên tố bằng $\dfrac{5}{2}$ số lần rút được thẻ mang số là số chính phương.

- Số lần rút được thẻ mang số không là số nguyên tố cũng không là số chính phương là một số nguyên tố lớn hơn $35$ và nhỏ hơn $40$.

Tính xác suất thực nghiệm của sự kiện: "Rút được thẻ mang số là số chính phương hoặc số nguyên tố". Biết $N$ là số tự nhiên nhỏ nhất có ba chữ số sao cho khi chia $N$ cho $12$ dư $4$ và chia cho $16$ cũng dư $4$.

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài gấp $3$ lần chiều rộng. Người ta mở rộng khu vườn bằng cách tăng chiều rộng thêm $2$ m và tăng chiều dài thêm $2$ m, khi đó diện tích khu vườn tăng thêm $84$ m².

Cho $n$ điểm trong đó có đúng $8$ điểm thẳng hàng, ngoài ra không có ba điểm nào khác thẳng hàng. Qua hai điểm vẽ được một đường thẳng. Tìm $n$ biết vẽ được tất cả $1 \, 198$ đường thẳng.

Chứng minh rằng luôn tồn tại một số có dạng $202620262026 \dots 2026$ chia hết cho $2\,027$.