Trong hệ trục toạ độ $(Oxy)$, cho đồ thị hàm số $(C)$: $y=\dfrac{x^2+x+1}{x+1}$ $(x>-1)$ mô tả chuyển động của một chiếc thuyền trên biển, một trạm phát sóng đặt tại điểm $I(-1;-1)$. Biết hoành độ điểm $M$ thuộc đồ thị $(C)$ mà tại đó thuyền thu được sóng tốt nhất là $x_0=\dfrac{1}{\sqrt[n]{a}}-b$ (Loại trừ các điều kiện ảnh hưởng đến việc thu phát sóng). Tính $a.n+b$.

Trả lời:

Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất $8\,000$ quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất $30$ bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là $200$ nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là $192$ nghìn đồng mỗi giờ. Công ty cần sử dụng bao nhiêu máy móc để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất?

Trả lời:

Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí sản xuất trung bình cho một sản phẩm (nghìn đồng) khi sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày là $\overline{C}(x) = x^2 - 40x + 1 \, 500$. Để chi phí sản xuất trung bình là thấp nhất thì mỗi ngày công ty nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Trả lời:

Khối lượng thu hoạch của một vườn táo phụ thuộc vào tổng số vốn đầu tư chăm sóc $x$ (triệu đồng) theo hàm số $Y(x) = \dfrac{200x^2}{x^2 + 40}$ (tấn). Đầu tư càng nhiều sản lượng càng tăng, tuy nhiên do quy luật hiệu suất giảm dần, sản lượng tiến dần về một mức khi $x \to +\infty$. Tính mức sản lượng tối đa đó.

Trả lời:

Một miếng gỗ hình tam giác đều chiều dài cạnh là $4$ cm. Cắt bỏ ba phần như hình vẽ để được một miếng gỗ hình chữ nhật có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó, đơn vị cm². (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Trả lời:

Cho hàm số $y=x^4-2mx^2+1-m$. Giá trị thực của tham số $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nhận gốc tọa độ $O$ làm trực tâm bằng bao nhiêu?

Trả lời: