Quay lại giao diện cũ
Đề số 1 (thời gian: 90 phút)
(2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d):y=-x+2$.
1. Tìm tọa độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.
2. Gọi $A$, $B$ là hai giao điểm của $(P)$ và $(d)$. Tính diện tích tam giác $OAB$.
Hướng dẫn giải
1. Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$:
$x^2=-x+2 \Leftrightarrow x^2+x-2=0 \Leftrightarrow (x+2)(x-1)=0$
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x=1.\end{matrix}\right.\)
Với $x=1$ suy ra $y=1$ ta có điểm $A(1;1)$.
Với $x=-2$ suy ra $y=4$ ta có điểm $B(-2;4)$.
2. Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và trục $Oy$.
Ta có $\displaystyle S_{AOB} =S_{AOF} + S_{FOB} = \frac{1}{2}(1+2).2=3$.
(2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được $860$ chi tiết máy. Đến tháng thứ hai, tổ I vượt mức $15\%$, tổ II vượt mức $10\%$ do đó tháng hai cả hai tổ sản xuất được $964$ chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được trong tháng đầu.
Hướng dẫn giải
Gọi số chi tiết máy mỗi tổ sản xuất được trong tháng đầu lần lượt là $x$, $y$ (chi tiết) ($x,y \in \mathbb{N}^*$).
Vì trong tháng đầu hai tổ sản xuất được $860$ chi tiết máy nên ta có phương trình:
$x+y=860$ (1)
Vì đến tháng thứ hai tổ I vượt mức \(15\%\), tổ hai vượt mức $10\%$ nên tháng thứ hai cả hai tổ sản xuất được $964$ chi tiết máy nên ta có phương trình:
$x+15\%x+y+10\%y=964 \Leftrightarrow 1,15x+1,1y=964$ (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=860\\1,15x+1,1y=964\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1,1x+1,1y=946\\1,15x+1,1y=964\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0,05x=18\\x+y=860\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=360\\y=500.\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
Vậy trong tháng đầu, tổ I sản xuất được $360$ chi tiết máy, tổ II sản xuất được $500$ chi tiết máy.
(4,0 điểm) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $E$ ($E$ nằm giữa $A$ và $O$; $E$ không trùng với $A$ và $O$). Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$ sao cho cung $MB$ nhỏ hơn cung $MC$. Dây $AM$ cắt $CD$ tại $F$. Tia $BM$ cắt đường thẳng $CD$ tại $K$.
1. Chứng minh tứ giác $BMFE$ nội tiếp.
2. Chứng minh $BF$ vuông góc với $AK$ và $EK.EF=EA.EB$.
3. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $M$ cắt tia $KD$ tại $I$. Chứng minh $IK=IF$.
Hướng dẫn giải
1. Ta có $\widehat{FEB}=\widehat{FMB}=90^\circ$ do đó $E$, $M$ cùng nhìn $FB$ dưới một góc $90^\circ$ nên $E$, $M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $FB$ do đó tứ giác $BMFE$ nội tiếp.
2. Xét tam giác $AKB$ có: $KE \bot AB$, $AM \bot KB$ mà $F$ là giao điểm của $KE$, $AM$ do đó $F$ là trực tâm của tam giác $AKB$.
Suy ra $BF \bot AK$.
Xét $\triangle AEF$ và $\triangle KEB$ có:
$\widehat{AEF} = \widehat{KEB} (=90^\circ)$
$\widehat{EAF} = \widehat{EKB}$ (vì cùng phụ với $\widehat{ABM}$)
do đó $\triangle AEF \sim \triangle KEB$ (g.g)
suy ra $\displaystyle \frac{EA}{EF} = \frac{EK}{EB} \Leftrightarrow EK.EF=EA.EB$.
3. Ta có:
\(\left.\begin{array}{l} \widehat{I M K}=\widehat{O M A}\left(=90^{\circ}-\widehat{I M F}\right) \\ \widehat{M K I}=\widehat{O A M}\left(=90^{\circ}-\widehat{K B A}\right) \\ \widehat{O M A}=\widehat{O A M}(\text{vì } \triangle A O M \text { cân }) \end{array}\right\} \Rightarrow \widehat{I M K}=\widehat{M K I}\)
Do đó $\triangle IKM$ cân tại $I$ suy ra $IK=IM$.
Tương tự ta cũng chứng minh được $\triangle IMF$ cân tại $I$ suy ra $IF=IM$.
Từ đó ta suy ra được $IK=IF$.
(1,0 điểm) Với các số $a,b,c>0$ và thỏa mãn $a+b+c=1$.
Chứng minh:
$\displaystyle \frac{a}{1+9b^2}+\frac{b}{1+9c^2}+\frac{c}{1+9a^2} \ge \frac{1}{2}$.
Hướng dẫn giải
Ta có:
\(\displaystyle \frac{a}{1+9 b^2}=\frac{a+9 a b^2-9 a b^2}{1+9 b^2}=a-\frac{9 a b^2}{1+9 b^2} \geq a-\frac{9 a b^2}{6 b}=a-\frac{3}{2} a b\)
Chứng minh tương tự ta được:
$\displaystyle \frac{b}{1+9c^2} \ge b-\frac{3}{2}bc$, $\displaystyle \frac{c}{1+9a^2} \ge c-\frac{3}{2}ca$.
Cộng lại vế với vế ta được:
\(\displaystyle \frac{a}{1+9 b^2}+\frac{b}{1+9 c^2}+\frac{c}{1+9 a^2} \ge (a+b+c)-\frac{3}{2}(a b+b c+c a)=1-\frac{3}{2}(a b+b c+c a)\).
Mặt khác ta có:
\(a b+b c+c a \leq a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(a b+b c+c a) =1-2(ab+bc+ca)\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow ab+bc+ca \leq \frac{1}{3}\).
Suy ra \(\displaystyle \frac{a}{1+9 b^2}+\frac{b}{1+9 c^2}+\frac{c}{1+9 a^2} \ge 1-\frac{3}{2}.\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\).
Dấu "$=$" xảy ra khi $\displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}$.