Chứng minh rằng $(a+1)^2 \leq 2 a+2$, biết $a^2 \leq 1$.

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{aligned} 2x-y=1 \\ x+y=4 \end{aligned}\right.$.

Tìm các số nguyên thỏa mãn cả hai bất phương trình $-3(x-5)\lt x+9$ và $\dfrac{3 x}{2}-\dfrac{x-1}{5}\lt 3$ ?

Mai mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng $165\,000$ đồng, trong đó đã tính $15\,000$ đồng là thuế giá trị gia tăng (viết tắt là VAT). Biết rằng thuế VAT với loại hàng thứ nhất là $12\%$; thuế VAT với loại hàng thứ hai là $9\%$. Hỏi nếu không kể thuế thì Mai phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?

Hai thành phố A và B cách nhau $120$ km . Một xe hơi di chuyển từ A đến B , rồi quay trở về A với tổng thời gian đi và về là $4,4$ giờ. Tính vận tốc lúc đi của xe hơi biết vận tốc lúc về lớn hơn vận tốc lúc đi là $20 \%$.

Cho $a \lt b$. Chứng minh rằng $- 2a - 5 > - 2b - 5$.

Cho hai biểu thức: $A=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{6\sqrt{x}-8}{x-5\sqrt{x}+6}$ với $x\ge 0$, $x\ne 4$, $x\ne 9$.

1) Tính giá trị của $A$ khi $x=16$.

2) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}$.

3) Cho $P=A:B$. Tìm $x$ để $P\lt \dfrac{1}{2}$.

Trong các hệ thống máy, một dây curoa bao quanh 2 bánh quay là hai đường tròn có tâm $O_1$ bán kính $40$ cm và tâm $O_2$ bán kính $10$ cm như hình dưới đây. Gọi $A$, $D$ là các điểm trên $(O_1)$ và $B$, $C$ là các điểm trên $(O_2)$ sao cho $AB$ và $CD$ tiếp xúc với đường tròn $(O_1)$, $(O_2)$ và chúng cắt nhau tại $M$ tạo thành góc $\widehat{BMC} = 60^\circ$.

a) Tính số đo cung lớn $\overset\frown{AD}$ của đường tròn $(O_1)$.

b) Tính độ dài dây curoa.

Chứng minh đẳng thức $\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}+\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2.$

Tìm $x$; $y$ trong hình vẽ.

Cho nửa đường tròn $(O)$, đường kính $AB$. Trên nửa đường tròn $(O)$ lấy một điểm ${D}({D}$ khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau ở điểm $C$. Gọi $F$ là hình chiếu của $D$ trên đoạn thẳng $AB$. Tia $BC$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại $E$.