Hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên khoảng $\left(a;b \right)$ nếu

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x )=4x^3-2x^2+1$ là

Biết hàm số $y=f(x )$ có $f'(x )=3x^2+2x-m+1$, $f(2 )=1$ và đồ thị của hàm số $y=f(x )$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $-5$. Hàm số $f(x )$ là

Diện tích $S$ hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=2{{x}^{2}}$, $y=-1$, $x=0$ và $x=1$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;-2;1)$, $B(-1;3;3)$, $C(2;-4;2)$. Một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$ của mặt phẳng $(ABC)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua các hình chiếu của điểm $M(-1;\,3;\,4)$ lên các trục tọa độ là

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;0 )$, $B(0;-1;2 )$. Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm $A$, $O$ và cùng cách $B$ một khoảng bằng $\sqrt{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó?

Họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{4}{x^2}$ với $x \ne 0$ là

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x+1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=a$ $(a>0)$. Giá trị của $a$ sao cho thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay $(H)$ quanh trục hoành bằng $57\pi$ là

Nếu $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{f\left(x \right)\mathrm{d}x}=6$ và $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{g\left(x \right)\mathrm{d}x}=-2$ thì $\displaystyle \int\limits_{1}^{2}{\left[ f\left(x \right)-3g\left(x \right) \right]}\mathrm{d}x$ bằng

Nếu $\displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi}3} [ \sin x-3f(x) ] \mathrm{d}x=6$ thì $\displaystyle \int\limits_{0}^{\frac{\pi }3} f(x)\mathrm{d}x$ bằng

Tích phân $\displaystyle\int\limits_{-2}^{0} \Big( 4 - \mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \Big) \mathrm{d}x = a - 2\mathrm{e}$, khi đó giá trị của $a$ là

Cho hàm số $y=f(x)>0$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $f(1)=\mathrm{e}^3$. Biết $f'(x)=(2x-3).f(x), \, \forall x\in \mathbb{R}$.

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=-\sin x$, $y=1$, $x=a$, $x=\pi$, với $0\le a\le \pi$.

Mặt phẳng $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua điểm $A(1;2;-3 )$ và vuông góc với hai mặt phẳng: $(P ):\ x+y+z+2=0;\ (Q ):\ 2x-y+z-4=0$.

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;2;0 )$, $B(1;0;2 )$, $C(2;1;3 )$ và mặt phẳng $(P ):x-y+2z+7=0$.