Thực hiện phép tính:

Tìm số tự nhiên $x$, biết:

Gieo con xúc xắc có $6$ mặt $100$ lần, kết quả thu được ghi ở bảng sau:

Tìm các cặp số nguyên $x, \, y$ thỏa mãn: $xy + 3x - 2y = 11$.

Cho $a, \, b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $(3a + 4b) \, \vdots \, 23$ thì $(8a + 3b) \, \vdots \, 23$.

Số học sinh của một trường học là một số có ba chữ số lớn hơn $800$. Khi xếp hàng $20$ thì dư $9$ em; xếp hàng $30$ thì thiếu $21$ em và xếp hàng $35$ thì thiếu $26$ em. Hỏi trường đó có tất cả bao nhiêu học sinh?

Nhà bác Mai có một khu vườn hình chữ nhật, chiều dài bằng $140$ m, chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Để tiện chăm sóc cây, bác Mai làm lối đi hình bình hành có kích thước như hình vẽ bên:

Cho hai tia đối nhau $Ax, \, Ay$. Trên tia $Ax$ lấy hai điểm $B$ và $C$ sao cho $B$ nằm giữa $A$ và $C$, và $AC = 8$ cm; $AB = 6$ cm. Trên tia $Ay$ lấy điểm $M$, gọi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $AM$.

Cho $30$ điểm phân biệt trong đó có đúng $n$ điểm thẳng hàng (ngoài ra không còn $3$ điểm nào thẳng hàng). Qua $2$ điểm ta vẽ được một đường thẳng, biết rằng có tất cả $426$ đường thẳng phân biệt. Tìm $n$.

Viết ngẫu nhiên $25$ số tự nhiên từ $1$ đến $25$ vào $25$ ô vuông trong bảng kích thước $5 \times 5$, mỗi ô chứa một số khác nhau. Gọi $x$ là tổng của tất cả các số nằm trên $5$ hàng, $y$ là tổng của tất cả các số nằm trên $5$ cột và $z$ là tổng các số trong $2$ đường chéo. Đặt $S = x + y + z$. Tìm giá trị lớn nhất của $S$.