Tính giá trị của các biểu thức sau:

Cho $P = 92 - \dfrac{1}{9} - \dfrac{2}{10} - \dfrac{3}{11} - \ldots - \dfrac{92}{100}$ và $Q = \dfrac{1}{45} + \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{55} + \ldots + \dfrac{1}{500}$. So sánh $P$ và $39 \cdot Q$.

Tìm hai số tự nhiên $a$ và $b$, biết BCNN$(a, \, b) = 300$, ƯCLN$(a, \, b) = 15$ và $a + 15 = b$.

Tìm tất cả các số nguyên $x, \, y$ thỏa mãn $xy - 2x + y = 7$.

Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ để $2^p + p^2$ là số nguyên tố.

Trên tia $Ox$ lấy hai điểm $M$ và $N$ sao cho $OM = 3$ cm và $ON = 7$ cm.

Trên đường thẳng $d$ có $n$ điểm ($n \in \mathbb{N}^*, \, n \ge 2$). Số đoạn thẳng có được trên đường thẳng $d$ nhiều hơn $190$ và ít hơn $231$. Tìm $n$.

Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ $1$ đến $2\,027$, người ta làm như sau: Lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số $1$ được không? Giải thích?

Cho dãy số gồm $5$ số tự nhiên bất kì $a_1, \, a_2, \, a_3, \, a_4, \, a_5$. Chứng tỏ tồn tại một số chia hết cho $5$ hoặc tổng của một số số liên tiếp trong dãy đã cho chia hết cho $5$.