Thực hiện phép tính:

Tính giá trị của các biểu thức:

Tìm $x$, biết:

So sánh hai số $107^{50}$ và $73^{75}$.

Số học sinh của trường THCS A nếu xếp mỗi hàng $10$ học sinh thì thừa ra $3$ học sinh, nếu xếp mỗi hàng $12$ thì thừa ra $5$ học sinh, nếu xếp mỗi hàng $15$ thì thừa ra $8$ học sinh, nếu xếp mỗi hàng $19$ thì vừa đủ. Hỏi trường THCS A có bao nhiêu học sinh tất cả, biết số học sinh của trường đó lớn hơn $800$ và nhỏ hơn $1\,000$.

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho $n + 1; \, 2n + 1; \, 5n + 1$ đều là số chính phương.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $24,2$ m², chiều dài gấp $1,25$ lần chiều rộng. Hỏi người ta cần bao nhiêu chiếc cọc để đóng xung quanh khu vườn? Biết cứ $1$ m chôn một chiếc cọc và hai bên cửa ra vào rộng $0,8$ m đều có cọc.

Cho đoạn thẳng $A B$ dài $7$ cm. Trên tia $A B$ lấy điểm $I$ sao cho $A I = 4$ cm. Trên tia $B A$ lấy điểm $K$ sao cho $B K = 2$ cm.

Cho $A B = 2^{2\,026}$ cm. Gọi $C_1$ là trung điểm của $AB$, gọi $C_2$ là trung điểm của $A C_1$, gọi $C_3$ là trung điểm của $A C_2, \dots,$ gọi $C_{2\,026}$ là trung điểm của $A C_{2\,025}$. Tính độ dài đoạn thẳng $C_1 C_{2\,026}$.

Cho $m$ đường thẳng ($m \in \mathbb{N}$) trong đó bất kì hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy (cùng đi qua một điểm). Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là $190$. Tính $m$.

Chứng minh rằng: $Q = \dfrac{1}{3} - \dfrac{2}{3^2} + \dfrac{3}{3^3} - \dfrac{4}{3^4} + \dots + \dfrac{2\,021}{3^{2\,021}} - \dfrac{2\,022}{3^{2\,022}} \lt \dfrac{3}{16}$.