Câu hỏi lý thuyết (Bài 15 SGK)

Câu 1

1đ

Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là $50$ . Sau mỗi chu kì $4$ giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

Câu 1:

Công thức tính số vi khuẩn $u_n$ sau chu kì thứ $n$ là

u_n = 50 + 2^n

.

u_n = 50 \cdot 2^{n-1}

.

u_n = 50 \cdot 4^n

.

u_n = 50 \cdot 2^n

.

Câu 2:

Sau ít nhất bao nhiêu giờ, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số $10 \, 000$ ?

Trả lời: giờ.

Câu 2

1đ

Giá trị của $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (n - \sqrt{n})$ bằng

+\infty

.

0

.

1

.

-\infty

.

Câu 3

1đ

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ .

Câu 1:

Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

-\dfrac{1}{2}; \, \dfrac{1}{3}; \, -\dfrac{1}{4}; \, \dfrac{1}{5}; \, -\dfrac{1}{6}

.

1; \, \dfrac{1}{2}; \, \dfrac{1}{3}; \, \dfrac{1}{4}; \, \dfrac{1}{5}

.

\dfrac{1}{2}; \, \dfrac{1}{3}; \, \dfrac{1}{4}; \, \dfrac{1}{5}; \, \dfrac{1}{6}

.

-1; \, \dfrac{1}{2}; \, -\dfrac{1}{3}; \, \dfrac{1}{4}; \, -\dfrac{1}{5}

.

Câu 2:

Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu của dãy, khoảng cách từ $u_n$ đến $0$ nhỏ hơn $0,01$ ?

Trả lời:

Câu 4

1đ

Tự luận

Chứng minh rằng $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n} = 0$ .

Câu 5

1đ

Cho dãy số $(u_n)$ với $u_n = \dfrac{n + (-1)^n}{n}$ . Xét dãy số $(v_n)$ xác định bởi $v_n = u_n - 1$ . Khi đó $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n$ bằng

+\infty

.

0

.

-1

.

1

.

Câu 6

1đ

Chứng minh $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{3 \cdot 2^n - 1}{2^n} = 3$ .

Câu 1:

Hiệu $u_n - 3$ bằng biểu thức nào sau đây?

\dfrac{1}{2^n}

.

-\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n

.

\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n

.

-\dfrac{1}{2^n}

.

Câu 2:

Tính:

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} (u_n - 3) =$ nên $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n =$ .

Câu 7

1đ

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao $5$ m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\dfrac{2}{3}$ độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử $u_n$ là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ $n$ . Xét tính đúng sai của các khẳng định sau.

(Nhấp vào ô màu vàng để chọn đúng / sai)

a) Độ cao của quả bóng sau lần nảy đầu tiên là $\dfrac{10}{3}$ (m).
b) Dãy số $(u_n)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu $\dfrac{10}{3}$ và công bội $\dfrac{2}{3}$ .
c) Số hạng tổng quát của dãy số là $u_n = 5 \cdot \Big(\dfrac{2}{3}\Big)^{n-1}$ .
d) Dãy số có giới hạn là $0$ .

Câu 8

1đ

Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ với $u_n = 2 + \dfrac{1}{n}, \, v_n = 3 - \dfrac{2}{n}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n + \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 5

.

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = 6

và

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n + \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 5

.

Hai giới hạn trên không bằng nhau.

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = 5

nhưng

\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n + \displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 1

.

Câu 9

1đ

$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\sqrt{2n^2 + 1}}{n + 1}$ bằng

2

.

0

.

+\infty

.

\sqrt{2}

.

Câu 10

1đ

Cho hình vuông cạnh $1$ (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (như hình vẽ).

Hình 5.2.png

Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi $u_1, \, u_2, \, \dots, \, u_n, \, \dots$ lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

Câu 1:

$S = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n$ bằng

-1

.

\dfrac12

.

0

.

1

.

Câu 2:

Tổng $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$ bằng

1 - \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n

.

1 - \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}

.

1 + \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n

.

1 + \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{n+1}

.

Câu 11

1đ

Tổng $S = 2 + \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7^2} + \dots + \dfrac{2}{7^{n-1}} + \dots$ bằng

\dfrac{16}{7}

.

\dfrac{3}{7}

.

\dfrac{7}{3}

.

\dfrac{14}{3}

.

Câu 12

1đ

Để đơn giản cho nghịch lí Zeno, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc $100$ km/h, vận tốc của rùa là $1$ km/h và khoảng cách ban đầu $a = 100$ km.

Câu 1:

Gọi $t_1, \, t_2, \, \dots, \, t_n, \, \dots$ tương ứng là thời gian để Achilles đi từ $A_1$ đến $A_2$ , từ $A_2$ đến $A_3$ , $\dots$ , từ $A_n$ đến $A_{n+1}$ , $\dots$ Công thức tính thời gian $t_n$ (giờ) là

t_n = 100 \cdot \Big(\dfrac{1}{100}\Big)^n

.

t_n = \Big(\dfrac{1}{100}\Big)^{n-1}

.

t_n = \Big(\dfrac{1}{100}\Big)^n

.

t_n = 100 \cdot \Big(\dfrac{1}{100}\Big)^{n-1}

.

Câu 2:

Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_1A_2, \, A_2A_3, \, \dots, \, A_nA_{n+1}, \, \dots$ , tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trả lời: giờ.

Câu 3:

Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Trả lời:

Sai lầm trong lập luận của Zeno là ông đã cho rằng tổng vô hạn các khoảng thời gian (mặc dù các khoảng thời gian ngày càng nhỏ dần) luôn là một khoảng thời gian .

Tuy nhiên, theo tính toán trên, tổng thời gian này là một số .

Bài học liên quan

Phần 1

Báo lỗi

Tải đề xuống