Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A, B hay không?

Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?

Trong Ví dụ 2, lấy điểm $N$ thuộc đường thẳng $AB$ sao cho $N$ khác $M$. Đường thẳng $MN$ có thuộc mặt phẳng $(ABC)$ hay không?
Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ thuộc đường thẳng $BC$ (H.4.6).

a) Điểm $M$ có thuộc mặt phẳng $(ABC)$ hay không?

b) Đường thẳng $AM$ có nằm trong mặt phẳng $(ABC)$ hay không?

Giải

a) Đường thẳng $BC$ có hai điểm phân biệt $B$, $C$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$ nên đường thẳng $BC$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$. Vì $M$ thuộc đường thẳng $BC$ nên$M$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$.

b) Đường thẳng $AM$ có hai điểm phân biệt $A$, $M$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$ nên đường thẳng $AM$ nằm trong mặt phẳng $(ABC)$.

Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?

Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBM)$ và $(SCN)$.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $AB$, $AC$ (H.4.8).

a) Chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN)$, $(SCM)$ và khác điểm $S$.

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$ có đi qua trọng tâm của tam giác $ABC$ hay không?

Giải

a) Trong tam giác $ABC$, hai đường trung tuyến $BN$ và $CM$ cắt nhau tại trọng tâm $G$ của tam giác. Điểm $G$ thuộc $BN$ nên cũng thuộc mặt phẳng $(SBN)$. Điểm $G$ thuộc $CM$ nên cũng thuộc mặt phẳng $(SCM)$. Vậy $G$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$.

b) Vì $S$, $G$ là hai điểm chung của hai mặt phẳng $(SBN)$ và $(SCM)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng $SG$. Đường thẳng này đi qua trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng $c$ cắt cả hai đường thẳng $a$ và $b$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: mp$(S, \, a)$ và mp$(S, c\, )$; mp$(S, \, b)$ và mp$(S, \, c)$.

Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng cắt nhau $a$, $b$ và gọi $S$ là một điểm không thuộc mp$(a,\, b)$ (H.4.10). Xác định giao tuyến của mp$(S, \, a)$ và $mp$(S, \,b)$.

Giải

Gọi $M$ là giao điểm của $a$ và $b$. Vì $M$ thuộc $a$ nên $M$ thuộc mp(S, \. a). Vì $M$ thuộc $b$ nên $M$ thuộc mp$(S, \, b)$. Hai điểm $S$, $M$ cùng thuộc mp$(S, \, a)$ và mp$(S, \, b)$ nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng $SM$.

Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to dập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.

Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.

Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng $DF$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Ví dụ 6. Cho hình tứ diện $ABCD$ và $E$ là một điểm nằm trong tam giác $BCD$. Gọi $F$ là một điểm nằm giữa $A$ và $E$ (H.4.12). Xác định giao điểm của đường thẳng $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.

Giải

Vì điểm$E$ nằm trong tam giác$BCD$ nên đường thẳng$BE$ cắt cạnh$CD$ tại một điểm$M$. Các điểm$A$,$E$ thuộc mặt phẳng$(ABM)$ nên đường thẳng $AE$ thuộc mặt phẳng $(ABM)$, do đó điểm $F$ thuộc mặt phẳng $(ABM)$. Như vậy các điểm $A$, $B$, $E$, $F$, $M$ cùng thuộc mặt phẳng $(ABM)$.

Trong tam giác $ABM$, đường thẳng $BF$ cắt $AM$ tại $N$. Vì $N$ thuộc $AM$ và $A$, $M$ cùng thuộc mặt phẳng $(ACD)$ nên $N$ thuộc mặt phẳng $(ACD)$. Vậy $N$ là giao điểm của đường thẳng $BF$ và mặt phẳng $(ACD)$.