Quay lại bản cũ
Bài tập tự luận (Nâng cao)
Cho tam giác $A B C$ nội tiêp đường tròn tâm $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$. Tia $A O$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $D$. Chứng minh $\overrightarrow{H B}=\overrightarrow{C D}$.
Hướng dẫn giải
Ta có: $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C} ; \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D} ; \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C} ; \overrightarrow{D A}=\overrightarrow{C B} ; \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C} ; \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{C O} ; \overrightarrow{O B}=\overrightarrow{D O} ; \overrightarrow{B O}=\overrightarrow{O D}$.
Cho tam giác $A B C$ có $D, E, F$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$. Chứng minh $\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{C D}$
Hướng dẫn giải
Theo giả thiết, ta có: $D, E, F$ lần lượt là trung điểm của $B C, C A, A B$.
$\Rightarrow E F$ là đường trung bình $\triangle A B C$ và $E F=\dfrac{1}{2} B C$ (1).
Lại có $D$ là trung điểm $B C \Rightarrow C D=\dfrac{1}{2} C B(2)$.
Dễ thấy $\overrightarrow{E F}$ cùng hướng $\overrightarrow{C D}(3)$
Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \overrightarrow{E F}=\overrightarrow{C D}$.
Cho hình bình hành $A B C D$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A D$. Điểm $I$ là giao điểm của $A M$ và $B N, K$ là giao điểm của $D M$ và $C N$. Chứng minh $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{N C}$, $\overrightarrow{D K}=\overrightarrow{N I}$.
Hướng dẫn giải
- Chứng minh $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$.
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MC=\dfrac{1}{2}BC$.
Vì $N$ là trung điểm của $AD$ nên $AN=\dfrac{1}{2}AD$.
Mà $ABCD$ là hình bình hành nên $AD=BC$ và $AD\parallel BC$.
Suy ra $AN=MC$ và $AN\parallel MC$.
Do đó tứ giác $AMCN$ là hình bình hành, suy ra $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC}$.
- Chứng minh $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}$.
Vì $N$ là trung điểm của $AD$, $M$ là trung điểm của $BC$ và $AD\parallel BC$, $AD=BC$ nên $AN\parallel BM$ và $AN=BM$.
Do đó tứ giác $ABMN$ là hình bình hành.
Hai đường chéo $AM$ và $BN$ của hình bình hành $ABMN$ cắt nhau tại $I$, nên $I$ là trung điểm của $BN$.
Suy ra
$\overrightarrow{NI}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NB}.\qquad (1)$
Tương tự, ta có $DN\parallel MC$ và $DN=MC$ nên tứ giác $CDNM$ là hình bình hành.
Hai đường chéo $CN$ và $DM$ của hình bình hành $CDNM$ cắt nhau tại $K$, nên $K$ là trung điểm của $DM$.
Suy ra
$\overrightarrow{DK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DM}.\qquad (2)$
Mặt khác, tứ giác $BNDM$ là hình bình hành nên
$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{NB}.\qquad (3)$
Từ (1), (2), (3), ta có
$\overrightarrow{DK}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{DM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NI}$.
Vậy $\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}$.
Cho hình bình hành $A B C D$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A D$. Điểm $I$ là giao điểm của $A M$ và $B N, K$ là giao điểm của $D M$ và $C N$. Chứng minh $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{N C}$, $\overrightarrow{D K}=\overrightarrow{N I}$.
Hướng dẫn giải
Ta có $B^{\prime}$ là điểm đối xứng của $B$ qua $O$ nên $B B^{\prime}$ là một đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$.
Ta có: $O C=\dfrac{1}{2} B B^{\prime}$ nên tam giác $C B B^{\prime}$ vuông tại $C$.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}B^{\prime} C \perp B C \\ A H \perp B C\end{array} \Rightarrow B^{\prime} C / / A H\right.$ (1)
Tương tự: $O A=\dfrac{1}{2} B B^{\prime}$ nên tam giác $A B B^{\prime}$ vuông tại $A$.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}B^{\prime} A \perp A B \\ C H \perp A B\end{array} \Rightarrow B^{\prime} A / / CH\right.$ (2)
Từ (1) và (2) ta có tứ giác $A H C B^{\prime}$ là hình bình hành. Suy ra $\overrightarrow{A H}=\overrightarrow{B^{\prime} C}$.
Cho tam giác $A B C$ nội tiêp đường tròn tâm $O$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$. Tia $A O$ cắt đường tròn tâm $O$ tại $D$. Chứng minh $\overrightarrow{H B}=\overrightarrow{C D}$.
Hướng dẫn giải
Vì $H$ là trực tâm của tam giác $A B C$
nên $H B \perp A C$
Vì tia $A O$ cất đường tròn tâm $O$ tại $D$
nên $A D$ là đường kính của đường tròn tâm $O$.
$\begin{aligned}&\Rightarrow A C D=90^{\circ} \\&\Leftrightarrow C D \perp A C\end{aligned}$
$\Rightarrow H B / / C D$ (1)
Chứng minh tương tự $\Rightarrow B D / / H C$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra $HBDC$ là hình hình hành.
Suy ra $\overrightarrow{HB} = \overrighrtarrow{CD}.$
Cho tam giác $A B C$. Vē $D$ đối xứng với $A$ qua $B, E$ đối xứng với $B$ qua $C$ và $F$ đối xứng với $C$ qua $A$. Gọi $G$ là giao điểm của trung tuyến $A M$ của tam giác $A B C$ với trung tuyến $D N$ của tam giác $D E F$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm $G A$ và $G D$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N M}$.
b) $\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{N I}$.
Hướng dẫn giải
a) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N M}$.
Ta có $A, N$ lần lượt là trung điểm của $F C, F E$
$\Rightarrow \overrightarrow{A N}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{C E}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C} .$
Mà $\overrightarrow{B M}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}$ suy ra $\overrightarrow{A N}=\overrightarrow{B M} \Rightarrow$ tứ giác $A N M B$ là hình bình hành $\Rightarrow \overrightarrow{N M}=\overrightarrow{A B}$.
b) $\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{N I}$.
Ta có $I, K$ lần lượt là trung điểm của $G A$ và $G D \Rightarrow \overrightarrow{I K}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N M} \Rightarrow$ tứ giác $I N M K$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{N I}$.
Cho tam giác $A B C$ và tam giác $A E F$ có cùng trọng tâm $G$. Chứng minh: $\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{F C}$.
Hướng dẫn giải
Ta có $G$ là trọng tâm $\triangle A B C \Rightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0}$ (1).
Và $G$ là trọng tâm $\Delta A E F \Rightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F}=\overrightarrow{0}(2)$.
Từ (1) và $(2)$ :
$\Rightarrow \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F} \Leftrightarrow \overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{G E}+\overrightarrow{G F} \Leftrightarrow \overrightarrow{G C}-\overrightarrow{G F}=\overrightarrow{G E}-\overrightarrow{G B} \Leftrightarrow \overrightarrow{F C}=\overrightarrow{B E}$.