Quay lại bản cũ
Bài tập tự luận: Hình thoi
Cho hình thoi $ABCD$. Lấy $E, \, F$ trên $BC$ và $CD$ sao cho $BE=DF.$ Gọi $G, \, H$ lần lượt là giao điểm của $AE, \, AF$ với $BD.$ Chứng minh $AGCH$ là hình thoi.
Hướng dẫn giải
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AB = AD$, $\widehat{B} = \widehat{D}$ và $BD$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AC$.
Vì $G$ và $H$ nằm trên đường trung trực $BD$ của $AC$ nên $GA = GC, \, HA = HC$ $\left( 1 \right)$.
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADF$ có:
$AB = AD$ (chứng minh trên)
$\widehat{B} = \widehat{D}$ (chứng minh trên)
$BE = DF$ (giả thiết)
Do đó $\Delta ABE = \Delta ADF$ (c.g.c), suy ra $\widehat{BAE} = \widehat{DAF}$.
Mặt khác, $BD$ là đường chéo của hình thoi $ABCD$ nên $BD$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ADC}$, suy ra $\widehat{ABG} = \widehat{ADH}$.
Xét $\Delta ABG$ và $\Delta ADH$ có:
$\widehat{BAG} = \widehat{DAH}$ (chứng minh trên)
$AB = AD$ (chứng minh trên)
$\widehat{ABG} = \widehat{ADH}$ (chứng minh trên)
Do đó $\Delta ABG = \Delta ADH$ (g.c.g), suy ra $AG = AH$ $\left( 2 \right)$.
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $AG = GC = CH = HA$.
Vậy tứ giác $AGCH$ là hình thoi.
Cho hình bình hành $ABCD$ có $AD\bot AC\,.$ Gọi $M, \, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, \, CD.$
a) Chứng minh $MN\bot AC$
b) Tứ giác $AMCN$ là hình gì?
Hướng dẫn giải
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = DC$ và $AB $ // $DC$.
Vì $M, \, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, \, CD$ nên $AM = \dfrac{1}{2}AB$ và $CN = \dfrac{1}{2}DC$.
Suy ra $AM = CN$ và $AM $ // $ CN$.
Tứ giác $AMCN$ có $AM $ // $ CN$ và $AM = CN$ nên là hình bình hành.
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $MN$ của hình bình hành $AMCN$, suy ra $O$ là trung điểm của $AC$.
Xét $\Delta ADC$ vuông tại $A$ có $AN$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $DC$ nên $AN = \dfrac{1}{2}DC = CN$.
Xét $\Delta ANC$ cân tại $N$ (do $AN = CN$), có $NO$ là đường trung tuyến nên $NO$ đồng thời là đường cao.
Suy ra $NO \bot AC$, hay $MN \bot AC$.
b) Theo câu a, tứ giác $AMCN$ là hình bình hành.
Lại có hai đường chéo $MN \bot AC$ (chứng minh trên).
Vậy tứ giác $AMCN$ là hình thoi.
Cho hình bình hành $ABCD$. Hai đường chéo $AC, \, BD$ cắt nhau tại $O.$ Đường thẳng $m$ đi qua $O$ cắt $AB, \, CD$ lần lượt tại $M$ và $P.$ Đường thẳng $n$ đi qua $O$ và vuông góc với $m$ cắt cạnh $BC$ và $DA$ lần lượt tại $N$ và $Q.$
a) Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành.
b) Chứng minh $MNPQ$ là hình thoi.
Hướng dẫn giải
a) $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC, \, BD$ cắt nhau tại $O$ là trung điểm của mỗi đường.
Xét $\Delta OBM$ và $\Delta ODP$ có:
$OB=OD$ ( giả thiết)
$\widehat{OBM}=\widehat{ODP}$ (so le trong)
$\widehat{BOM}=\widehat{DOP}$ (đối đỉnh)
Vậy $\Delta OBM=\Delta ODP$ (g.c.g)
Suy ra $OM=OP$ (hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự $\Delta OAQ=\Delta OCN$ (g.c.g) suy ra $OQ=ON$ (hai cạnh tương ứng)
$MNPQ$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.
b) Hình bình hành $MNPQ$ có hai đường chéo $MP\bot NQ$ nên là hình thoi.