Quay lại giao diện cũ
Bài tập tự luận: Định lí Thalès trong tam giác
Cho $\triangle A B C$, từ điểm $D$ trên cạnh $B C$, kẻ đường thẳng song song với $A B$ cắt $A C$ tại $F$ và kẻ đường thẳng song song với $AC$ cắt $AB$ tại $E$. Chứng minh rằng: $\dfrac{A E}{A B}+\dfrac{A F}{A C}=1$.
Hướng dẫn giải
Áp dụng định lí Thalès trong tam giác:
⚡$DE$ // $AC$ nên $\dfrac{A E}{A B}=\dfrac{C D}{B C}$;
⚡$DF$ // $AC$ nên $\dfrac{A F}{A C}=\dfrac{B D}{B C}$.
Khi đó, $\dfrac{A E}{A B}+\dfrac{A F}{A C}=\dfrac{C D}{B C}+\dfrac{B D}{B C}=\dfrac{B C}{B C}=1$.
Cho hình thang $ABCD$ ($AB$ // $CD$) có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Chứng minh rằng: $OA.OD = OB.OC$.
Hướng dẫn giải
$ABCD$ là hình thang suy ra $AB$ // $CD$.
Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: $\dfrac{OA}{OC} = \dfrac{OB}{OD} $
Suy ra $O A . O D = O B . O C$ (đpcm).
Cho $\triangle ABC$ có trọng tâm $G$. Vẽ đường thẳng $d$ qua $G$ và song song với $AB$, $d$ cắt $BC$ tại điểm $M$. Chứng minh rằng $B M=\dfrac{1}{3} B C$.
Hướng dẫn giải
Lấy $D$ là trung điểm của cạnh $BC$.
Khi đó, $A D$ là đường trung tuyến của tam giác $A B C$.
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $A B C$ nên điểm $G$ nằm trên cạnh $A D$.
Ta có $\dfrac{A G}{A D}=\dfrac{2}{3}$ hay $A G=\dfrac{2}{3} A D$.
Vì $MG$ // $AB$, theo định lí Thalès, ta suy ra: $\dfrac{A G}{A D}=\dfrac{B M}{B D}=\dfrac{2}{3}$.
Ta có $BD=CD$ (vì $D$ là trung điểm của cạnh $BC$) nên $\dfrac{B M}{B C}=\dfrac{B M}{2 B D}=\dfrac{2}{2 . 3}=\dfrac{1}{3}$.
Do đó $B M=\dfrac{1}{3} B C$ (đpcm).
Cho hình thang $ABCD$ ($AB$ // $CD$). Đường thẳng song song với $AB$ cắt $AD$, $BD$, $AC$ và $BC$ theo thứ tự tại các điểm $M$, $N$, $P$, $Q$. Chứng minh rằng $MN = PQ$.
Hướng dẫn giải
Trong tam giác $ADB$, ta có: $MN$ // $AB$ (gt)
Suy ra $\dfrac{DN}{DB} = \dfrac{MN}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (1)
Trong tam giác $ACB$, ta có: $PQ$ // $AB$ (gt)
Suy ra $\dfrac{CQ}{CB} = \dfrac{PQ}{AB}$ (hệ quả định lí Thalès) (2)
Lại có: $NQ$ // $AB$ (gt); $AB$ // $CD$ (gt)
Suy ra $NQ$ // $CD$
Trong tam giác $BDC$, ta có: $NQ$ // $CD$ (chứng minh trên)
Suy ra $\dfrac{DN}{DB} = \dfrac{CQ}{CB}$ (định lí Thalès) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\dfrac{MN}{AB} = \dfrac{PQ}{AB} hay $MN = PQ$ (đpcm).
Quan sát hình trên và chứng minh $x = \dfrac {ah }{a' − a}$.
Hướng dẫn giải
Xét tam giác $ABC$ có $BC \perp AB'$ và $B'C' \perp AB'$ nên suy ra $BC$ // $B'C'$.
Theo hệ quả định lí Thalès, ta có: $\dfrac{AB}{AB'} = \dfrac{BC}{BC'}$
Suy ra $\dfrac{x}{x + h} = \dfrac a{a'}$
$a'.x = a ( x + h ) $
$a'.x − a x = a h$
$x ( a' − a ) = a h$
$x = \dfrac {ah }{a' − a}$.