Trong không gian cho điểm $A$ và ba mặt phẳng đôi một vuông góc $(P_1)$, $(P_2)$ và $(P_3)$ giao nhau tại $O$. Gọi $A_1, \, A_2, \, A_3$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các mặt phẳng $(P_1)$, $(P_2)$ và $(P_3)$. Gọi $M, \, N, \, P$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống các giao tuyến của $(P_1)$ và $(P_2)$, $(P_2)$ và $(P_3)$, $(P_3)$ và $(P_1)$.

a) Chứng minh $OA^2=OM^2+ON^2+OP^2$.

b) Áp dụng câu a để chứng minh $OA=\sqrt{\dfrac{OA_1^2+OA_2^2+OA_3^2}{2}}$.

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là $1$ cm, $2$ cm và $3$ cm.

Hình 3.51 thể hiện hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một đoạn thẳng $AB$ trong không gian.

a) Xác định hình chiếu cạnh $A_3 B_3$ của đoạn thẳng đó.

b) Biết $A_1 B_1=10$ cm và $A_2 B_2=6$ cm, tính độ dài của $A_3 B_3$.