Cho hàm số \(y=x^3+ax^2+bx+1\)

a) Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua hai điểm \(A\left(1;2\right);B\left(-2;-1\right)\)

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với các giá trị tìm được của a và b 

c) Tính thể tích vật thể tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giớ hạn bởi các đường \(y=0;x=0;x=1\) và đồ thị (C) xung quanh trục hoành 

Cho hàm số :

                          \(f\left(x\right)=ax^2-2\left(a+1\right)x+a+2\)             \(\left(a\ne0\right)\)

a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f\left(x\right)=0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó ?

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình \(f\left(x\right)=0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a ?

Cho hàm số :

                      \(y=2-\dfrac{2}{x-2}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b) Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số 

                     \(y=\left|\dfrac{2\left(x-3\right)}{x-2}\right|\)           (1)

Dựa vào đồ thị (1), hãy biện luận theo k số nghiệm của phương trình

                     \(\left|\dfrac{2\left(x-3\right)}{x-2}\right|=\log_2k\)    (2)

c) Tìm các điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên ?

xét hàm số 
f(x)=\(\sqrt[4]{2x}+2\sqrt[4]{6-x}+\sqrt{2x}+2.\sqrt{6-x}\) 
D \(\in\left[0;6\right]\)

f'(x)= \(\frac{1}{2.\left(2x\right)^{\frac{3}{4}}}-\frac{1}{2.\left(6-x\right)^{\frac{3}{4}}}+\frac{1}{\sqrt{2x}}-\frac{1}{\sqrt{6-x}}\)
đặt u=\(\left(2x\right)^{\frac{3}{4}}\) \(\left(u\ge0\right)\), v=\(\left(6-x\right)^{\frac{3}{4}}\) \(\left(v\ge0\right)\)  
f'(x)= \(\frac{1}{2}.\frac{\left(v^3-u^3\right)}{\left(u.v\right)^3}+\frac{v-u}{u.v}=\frac{\left(v-u\right).\left(v^2+u.v+u^2\right)}{\left(u.v\right)^3}+\frac{v-u}{u.v}=\left(v-u\right).\left(\frac{v^2+u.v+u^2}{\left(u.v\right)^3}+\frac{1}{u.v}\right)\) 

\(=\left(v-u\right).g\left(u,v\right)\) ... với g(u,v) > 0 

Vậy  f'(x) = [(√(2x) - √(6-x)] .G(x), G(x)>0 
f'(x)=0 <=> √(2x) - √(6-x) = 0 <=> x=2 
lập bảng biến thiên: 

tự vẽ 

tính f(0), f(2), f(6) 
ta được f(x)=m có 2 nghiệm 
<=> f(0) \(\le\)m < f(2) 
<=> \(2.6^{\frac{1}{4}}+2\sqrt{6}\le m< 3.2^{\frac{1}{4}}+6\) 

Cho hàm số :

                  \(y=\dfrac{1}{3}x^3-\left(m-1\right)x^2+\left(m-3\right)x+4\dfrac{1}{2}\)         (1)

(m là tham số )

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm (1) khi m = 0

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị C( tại điểm \(A\left(0;4\dfrac{1}{2}\right)\)

c) Tình diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục hoành và các đường thẳng \(x=0;x=2\)

d) Xác định m để đồ thị (1) cắt đường thẳng \(y=-3x+4\dfrac{1}{2}\) tại 3 điểm phân biệt