Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt hệ trục tọa độ: $A(0,0,0),\ D(2a,0,0)$.
Vì $AD = 2a$, tam giác $SAD$ đều và $(SAD)\perp(ABCD)$ nên:
$S\left(a,0,a\sqrt3\right)$.
Đáy là hình thang vuông tại $A,D$ nên:
$B(0,b,0),\ C(x,b,0)$ với $CD \parallel AB$.
Do $CD$ là đáy nhỏ nên $x < 2a$.
Ta có: $SC = a\sqrt{15}$ nên: $SC^2 = (x-a)^2 + b^2 + (0 - a\sqrt3)^2 = 15a^2.$
$(x-a)^2 + b^2 + 3a^2 = 15a^2 \Rightarrow (x-a)^2 + b^2 = 12a^2. \quad (1)$
Gọi $H$ là trung điểm $AD$: $H(a,0,0)$.
Mặt phẳng $(SHC)$.
Khoảng cách từ $B(0,b,0)$ đến $(SHC)$ bằng $2a\sqrt6$.
Tính vectơ: $\vec{SH} = (0,0,-a\sqrt3),\ \vec{SC} = (x-a,b,-a\sqrt3)$.
Pháp tuyến: $\vec{n} = \vec{SH} \times \vec{SC} = (a\sqrt3\,b,\ a\sqrt3(x-a),\ 0)$.
Phương trình mặt phẳng $(SHC)$:
$a\sqrt3\,b(x-a) + a\sqrt3(x-a)(y-0) = 0$.
Khoảng cách: $d(B,(SHC)) = \dfrac{|a\sqrt3\,b(0-a) + a\sqrt3(x-a)(b)|}{\sqrt{(a\sqrt3 b)^2 + (a\sqrt3(x-a))^2}} = 2a\sqrt6.$
Rút gọn được:$ \dfrac{a\sqrt3\,b(x-a)}{a\sqrt3\sqrt{b^2 + (x-a)^2}} = 2a\sqrt6\Rightarrow \dfrac{b(x-a)}{\sqrt{b^2 + (x-a)^2}} = 2\sqrt6 a.$
Kết hợp với (1): $b^2 + (x-a)^2 = 12a^2$.
Suy ra: $b(x-a) = 2\sqrt6 a \cdot \sqrt{12a^2} = 2\sqrt6 a \cdot 2\sqrt3 a = 4\sqrt{18}a^2 = 12\sqrt2 a^2$.
Giải hệ: $\begin{cases}u^2 + v^2 = 12a^2 \\uv = 12\sqrt2 a^2\end{cases}\Rightarrow u = 2\sqrt2 a,\ v = 2\sqrt6 a.$
Suy ra:$b = 2\sqrt6 a,\quad x-a = 2\sqrt2 a \Rightarrow x = a + 2\sqrt2 a$.
Diện tích đáy: $S_{ABCD} = \dfrac{(AB + CD)\cdot chiều\ cao}{2}= \dfrac{(b + x)\cdot b}{2}= \dfrac{(2\sqrt6 a + (a + 2\sqrt2 a))\cdot 2\sqrt6 a}{2}.$
Rút gọn: $S_{ABCD} = \sqrt6 a(2\sqrt6 a + a + 2\sqrt2 a)$.
Chiều cao: $h = a\sqrt3$.
Thể tích: $V = \dfrac13 S_{ABCD}\cdot h = \dfrac13 \cdot \sqrt6 a(2\sqrt6 a + a + 2\sqrt2 a)\cdot a\sqrt3 = 4a^3.$
Vậy $V = 4a^3$.
a/ Diện tích đáy: \(S=\frac{1}{2}.a.2a=a^2\)
Độ dài đường cao: \(h=AA'.sin30^0=a\)
\(\Rightarrow V=S.h=a^3\)
b/ Diện tích đáy: \(S=2.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Độ dài đường cao: \(h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(\Rightarrow V=S.h=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}\)
c/ Diện tích đáy: \(S=2.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\)
Độ dài đường cao: \(h=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(\Rightarrow V=\frac{1}{3}S.h=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\)