Gọi $AB = AC = a$ ($a>0$).
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên
$S_{ABC} = \dfrac12 AB \cdot AC = \dfrac{a^2}{2}$.

Do $SA \perp (ABC)$ nên thể tích khối chóp là
$V = \dfrac13 S_{ABC}\cdot SA = \dfrac{a^2 SA}{6}$.

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$, theo đề bài: $d = 3$.

Ta có công thức thể tích khác:
$V = \dfrac13 S_{SBC}\cdot d = \dfrac13 S_{SBC}\cdot 3 = S_{SBC}$.

=> $V = S_{SBC}$.

Góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ là $\alpha$.
Do $BC \subset (ABC)$ nên

$\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{S_{SBC}}$.

=> $\cos\alpha = \dfrac{S_{ABC}}{V}$.

Thay $S_{ABC} = \dfrac{a^2}{2}$ và $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$:

$\cos\alpha = \dfrac{\dfrac{a^2}{2}}{\dfrac{a^2 SA}{6}} = \dfrac{3}{SA}$.

Để thể tích $V = \dfrac{a^2 SA}{6}$ nhỏ nhất thì $SA$ nhỏ nhất.

Mặt khác, trong tam giác vuông cân $ABC$, khoảng cách từ $A$ đến $BC$ là $h = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Do $d = SA \sin\alpha = 3$ nên $SA \ge 3$.

Vậy $SA_{\min} = 3$.

Thay vào công thức cosin:
$\cos\alpha = \dfrac{3}{SA} = \dfrac{3}{3} = 1$.

Vậy $\cos\alpha = 1$.

S o B H A D G d H' C K

Câu a bạn tự tính nhé!

Câu b: Qua G kẻ đường thẳng d // CD , khoảng cách từ \(d\left(G;\left(SAB\right)\right)=d\left(d;\left(SAD\right)\right)\) 

Kẻ HH' vuông CD , nối SH'. Lúc này SH' cách d tại K . \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)\) là khoảng cách cần tìm.

Ta có: S_H'AB =\(\frac{1}{2}S_{ABCD}\)=\(\frac{1}{2}\times2\sqrt{3}a^2=\sqrt{3}a^2\) \(\Rightarrow HH'=\frac{\sqrt{3}a^2}{a}=\sqrt{3}a\) 

Vì K nằm trên d nên \(d\left(K;\left(SAB\right)\right)=\frac{2}{3}HH'=\frac{2\sqrt{3}a}{3}\)

 ​

1) Gọi H là trung điểm của AB.
ΔSAB đều → SH ⊥ AB
mà (SAB) ⊥ (ABCD) → SH⊥ (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Kẻ SH vuông góc với BC tại H => SH vuông góc với (ABC) 
Kẻ HM vuông góc với AB tại M và HN vuông góc với AC tại N 
Ta có góc SMH = góc SNH = 60 độ 
Dễ thấy tam giác SHM = tam giác SHN => HM = HN 
Ta có HM = HB.sin 30 = 1/2 HB hay HB = 2 HM 
HN = HC.sin 60 = HC.căn 3 /2 => HC = 2/căn 3.HN = 2/căn 3 .HM 
=> BC = a = HB + HC = ( 2 + 2/căn 3).HM 
=> HM = a/(2 + 2/căn 3) = a.căn 3 /(2+ 2.căn 3) 
=> SH = HM.tan 60 = 3a/(2+2.căn 3) 
Có AB = BC/2 = a/2 
AC = BC.căn 3/2 = a.căn 3/2 
S(ABC) = 1/2.AB.AC = 1/8.a^2.căn 3 
=> V(SABC) = 1/3.3a/(2+2.căn 3) . 1/8.a^2.căn 3 = a^3.căn 3 /[16.(1+ căn 3)]

B A C H I S

Gọi H là trung điểm của BC, suy ra \(SH\perp BC\). Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên \(SH\perp\left(ABC\right)\)

Ta có : \(BC=a\Rightarrow SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\); \(AC=BC\sin30^0=\frac{a}{2}\)

\(AB=BC.\cos30^0=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Do đó  \(V_{S.ABC}=\frac{1}{6}SH.AB.AC=\frac{a^3}{16}\)

Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên \(HA=HB\). Mà \(SH\perp\left(ABC\right)\), suy ra \(SA=SB=a\). Gọi I là trung điểm của AB, suy ra \(SI\perp AB\) 

Do đó \(SI=\sqrt{SB^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{4}\)

Suy ra \(d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{SAB}}=\frac{6V_{S.ABC}}{SI.AB}=\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

Ta có hình chóp $S.ABC$ với $SA \perp (ABC)$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, $AB = AC = a$, $\widehat{BAC} = 120^\circ$.

Diện tích tam giác $ABC$ là
$S_{ABC} = \dfrac12 \cdot AB \cdot AC \cdot \sin120^\circ$
$S_{ABC} = \dfrac12 \cdot a \cdot a \cdot \dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Thể tích khối chóp:
$V = \dfrac13 \cdot S_{ABC} \cdot SA$

Theo đề bài: $\dfrac13 \cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4} \cdot SA = \dfrac{3a^3}{24}$

=> $\dfrac{a^2\sqrt3}{12} \cdot SA = \dfrac{a^3}{8}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{3a}{2\sqrt3} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Trong tam giác $ABC$ ta có:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos120^\circ$

$BC^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2 \Rightarrow BC = a\sqrt3$

Do $SA \perp (ABC)$ nên:
$S_{SBC} = \dfrac12 \cdot BC \cdot SA$

$S_{SBC} = \dfrac12 \cdot a\sqrt3 \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{3a^2}{4}$

Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$, ta có:
$V = \dfrac13 \cdot S_{SBC} \cdot d$

=> $d = \dfrac{3V}{S_{SBC}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{3a^3}{24}}{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{a}{2}$

Vậy $d = \dfrac{a}{2}$. Chọn D.

Chọn D

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABC)$.

Vì góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$ bằng $60^\circ$ nên:

$\sin 60^\circ = \dfrac{SH}{d(H,(SBC))}$

=> $d(H,(SBC)) = SH\cdot \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}SH$.

Xét tam giác $HBC$ vuông cân tại $H$ nên:

$HB = HC$ và $BC = a$.

Do đó:

$HB = HC = \dfrac{a}{\sqrt2}$.

Diện tích tam giác $HBC$ là:

$S_{HBC} = \dfrac12 HB\cdot HC = \dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}\cdot\dfrac{a}{\sqrt2} = \dfrac{a^2}{4}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng:

$V = \dfrac13 S_{HBC}\cdot SH$.

Theo giả thiết $V = a^3$, suy ra:

$a^3 = \dfrac13\cdot\dfrac{a^2}{4}\cdot SH$
$\Rightarrow SH = 12a$.

Khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ chính là:

$d(A,(SBC)) = d(H,(SBC)) = \dfrac{\sqrt3}{2}SH$.

Thay $SH = 12a$:

$d(A,(SBC)) = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot12a = 6a\sqrt3$.

Vậy $d(A,(SBC)) = \boxed{6a\sqrt3}$.

Chọn B.

S A B C M

Ta có : \(SA\perp BC\), \(AB\perp BC\) \(\Rightarrow SB\perp BC\)

Do đó : góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng \(\widehat{SBA}=30^0\)

\(V_{S.ABM}=\frac{1}{2}V_{S.ABC}=\frac{1}{2}SA.AB.BC\)

\(BC=AB=a;SA=AB.\tan30^0=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(V_{s.ABM}=\frac{a^3\sqrt{3}}{36}\)