Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$ thỏa mãn: ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\left[f\text{'}\left(x\right)\right]dx=$ ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\cos x.f\left(x\right)dx=\mathrm{\pi }/2$ và $\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }/2\right)=1$. Khi đó tích phân ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}f\left(x\right)dx$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(ℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)thỏa mãn \(x\left(x+1\right)\cdot f'\left(x\right)+f\left(x\right)=x^2+x\) với mọi \(x\inℝ\backslash\left\{0;-1\right\}\)và \(f\left(1\right)=-2ln2\).Biết \(f\left(2\right)=a+bln3\)với \(a,b\inℚ\).Tính \(P=a^2+b^2\)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left[0;\mathrm{\pi }\right]$. Biết $\mathrm{f}\left(0\right)=2\mathrm{e}$ và f(x) luôn thỏa mãn đẳng thức $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{sinx}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{cosx}.{\mathrm{e}}^{\mathrm{cosx}}$, $\forall \mathrm{x}\in \left[0;\mathrm{\pi }\right]$. Tính $\mathrm{I}={\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ (làm tròn đến phần trăm).

Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên $\left[0;\mathrm{\pi }/3\right]$, đồng thời thỏa mãn f'(0) = 0; f(0) = 1 và $\mathrm{f}\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+{\left[\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{cosx}}\right]}^2={\left[\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2$ .Tính  $\mathrm{T}=\mathrm{f}\left(\mathrm{\pi }/3\right)$

Biết f(x) là hàm số liên tục trên $\mathrm{ℝ}$, a là số thực thỏa mãn  $0<a<\pi$ và  ${\int }_0^{a}f\left(x\right)dx={\int }_0^{\pi }f\left(x\right)dx=1$. Tính tích phân  ${\int }_0^{\pi }f\left(x\right)dx$ bằng:

Xét hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn $2f\left(x\right) + 3f(1-x) = \sqrt{1-x^2}$ Tính  $I = {\int }_0^{1}f\left(x\right)dx$