Điều kiện để (P): \(y=ax^2+bx+c\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt là \(\Delta>0\).
Gọi \(x_1;x_2\) là hoành độ của hai giao điểm. Ta có:
\(x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\);
Tọa độ giao điểm là:
\(A\left(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a};0\right)\); \(A\left(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a};0\right)\).

Tọa độ đỉnh \(\left(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\right)\)

Trục đối xứng \(x=\dfrac{-b}{2a}\)

Lời giải

a)

a.1) Trục đối xứng y =1/4

a.2) giao trục tung A(0,-2)

a.3) giao trục hoành (\(\left(\Delta=17\right)\) \(B\left(\dfrac{1-\sqrt{17}}{4};0\right)\);\(C\left(\dfrac{1+\sqrt{17}}{4}\right)\)

b)

b.1) Trục đối xứng y =-1/4

b.2) giao trục tung A(0,2)

a.3) giao trục hoành \(\left(\Delta=17\right)\) \(B\left(\dfrac{-1-\sqrt{17}}{4};0\right)\);\(C\left(\dfrac{-1+\sqrt{17}}{4}\right)\)

Câu 1: (P) : \(y=ax^2+bx+c\)

Vì (P) cắt trục Ox tại hai điểm có hoành độ lần lượt là -1 và 2

nên (P) cắt hai điểm A(-1;0) và B (2;0)

A (-1;0) ∈ (P) ⇔ 0 = a - b+c (1)

B (2;0) ∈ (P) ⇔ 0 = 4a+2b+c (2)

Mà (P) cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng -2

nên (P) cắt C ( 0;-2)

C (0;-2) ∈ (P) ⇔ -2 = c (3)

Từ (1) ,(2) và (3) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a-b+c=0\\4a+2b+c=0\\c=-2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=2\\4a+2b=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy (P) : \(y=x^2-x-2\)

Câu 2: (P) : \(y=ax^2+bx+c\)

Vì (P) có đỉnh I ( -2;-1)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-b}{2a}=-2\\-1=4a-2b+c\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-4a+b=0\\4a-2b+c=-1\end{matrix}\right.\)(1)

Mà (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3

nên (P) cắt A( 0;-3)

A(0;-3) ∈ (P) ⇔ -3 = c (2)

Từ (1) và (2) ⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-4a+b=0\\4a-2b+c=-1\\c=-3\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-4a+b=0\\4a-2b=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{-1}{2}\\b=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy (P) : \(y=\dfrac{-1}{2}x^2-2x-3\)

Do (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 \(\Rightarrow c=3\)

\(\Rightarrow y=ax^2+bx+3\)

Mặt khác từ tọa độ đỉnh parabol ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{2a}=-2\\-\frac{b^2-4ac}{4a}=-1\end{matrix}\right.\) và \(a\ne0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4a\\b^2-12a=4a\end{matrix}\right.\)

Thay b từ trên xuống: \(16a^2-16a=0\)

\(\Rightarrow16a\left(a-1\right)=0\Rightarrow a=1\Rightarrow b=4\)

Vậy pt (P): \(y=x^2+4x+3\)

a) Ta có: a² = 25 => a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10

b² = 9 => b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6

c² = a² – b² = 25 - 9 = 16 => c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-4 ; 0) và F₂(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh A₁(-5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; -3), B₂(0; 3).

b)

4x² + 9y² = 1 <=> + = 1

a²= => a = => độ dài trục lớn 2a = 1

b² = => b = => độ dài trục nhỏ 2b =

c² = a² – b²

= - = => c =

F₁(- ; 0) và F₂( ; 0)

A₁(-; 0), A₂(; 0), B₁(0; - ), B₂(0; ).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

=> + = 1

Từ đây suy ra: 2a = 6. 2b = 4, c =\(\sqrt{5}\)

=> F₁(-\(\sqrt{5}\) ; 0) và F₂(\(\sqrt{5}\) ; 0)

A₁(-3; 0), A₂(3; 0), B₁(0; -2), B₂(0; 2).

B A K H C E I D

Ta có \(\widehat{AHC}=\widehat{AEC}=90^0\) nên 4 điểm A, H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính AC.

Gọi I là giao điểm của AC và BD

Ta có \(\widehat{HIE}=2\widehat{HAE}=2\left(180^0-\widehat{BCD}\right)\)

Các tứ giác AKED, AKHB nội tiếp nên \(\widehat{EKD}=\widehat{EAD}\) và \(\widehat{BKH}=\widehat{BAH}\)

Do đó \(\widehat{HKE}=180^0-\widehat{AKD}-\overrightarrow{BKH}=180^0-\overrightarrow{EAD}-\overrightarrow{BAH}=2\overrightarrow{HAE}=2\left(180^0-\overrightarrow{BCD}\right)=\overrightarrow{HIE}\)

Vậy tứ giác HKIE nội tiếp. Do đó I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác HKE

- Gọi \(C\left(c;c-3\right)\in d\left(c>0\right)\Rightarrow I\left(\frac{c-2}{2};\frac{c-4}{2}\right)\)

Do I thuộc (C) nên có phương trình :

\(c^2-c-2=0\Leftrightarrow c=2\) V c=-1 (loại c=-1) Suy ra \(C\left(2;-1\right);I\left(0;-1\right)\)

- Điểm E, H nằm trên đường tròn đường kính AC và đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :

\(\begin{cases}x^2+y^2+x+4y+3=0\\x^2+\left(y+1\right)^2=4\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0;y=-3\\x=-\frac{8}{5};y=-\frac{11}{2}\end{cases}\)

- Vì H có hoành độ âm nên \(H\left(-\frac{8}{5};-\frac{11}{5}\right);E\left(0;-3\right)\) Suy ra \(AB:x-y+1=0;BC:x-3y-5=0\)

Tọa độ B thỏa mãn \(\begin{cases}x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow B\left(-4;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(2;2\right);\overrightarrow{BC}=\left(6;2\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=16>0\)

Vì \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\Rightarrow D\left(4;1\right)\)

Vậy \(B\left(-4;-3\right);C\left(2;-1\right);D\left(4;1\right)\)