x⁴ + ax + b\(⋮\)x² - 4

<=> x⁴ + ax + b\(⋮\)( x - 2 ) ( x + 2 )

<=>\(\hept{\begin{cases}x^4+ax+b⋮x-2\\x^4+ax+b⋮x+2\end{cases}}\)

Đặt f ( x ) = x⁴ + ax + b

Theo định lý Bezout về phép chia đa thức, số dư của f ( x ) = x⁴ + ax + b cho x - 2 ; x + 2 lần lượt là f ( 2 ) ; f ( - 2 )

Để phép chia là chia hết thì\(\hept{\begin{cases}f\left(2\right)=16+2a+b=0\\f\left(-2\right)=-16-2a+b=0\end{cases}}\)

<=>\(\hept{\begin{cases}2a+b=-16\left(1\right)\\-2a+b=16\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy ( 1 ) - ( 2 ) ta được : 4a = 0 <=> a = 0

Thay a = 0 vào ( 1 ) ta được : 0 + b = - 16 <=> b = - 16

Vậy \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=-16\end{cases}}\)

bạn ơi định lý bezout là gì vậy

@Bảo Ngô :

Định lí Bézout : Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x - a là một hằng số bằng f(a)

Hệ quả của định lí Bézout : Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x - a 

Nếu bạn không hiểu Bézout thì mình bày cho cách này đơn giản hơn :> Nó na ná cách của Ngọc :))

Ta có : Nghiệm của x² - 4 là x = 2 và x = -2

=> Để x⁴ + ax + b chia hết cho x² - 4 thì x⁴ + ax + b cũng nhận x = 2 và x = -2 làm nghiệm

1) Với x = 2

=> 2⁴ + a.2 + b = 0

=> 16 + 2a + b = 0

=> 2a + b = -16 (1)

2) Với x = -2

=> (-2)⁴ + a.(-2) + b = 0

=> 16 - 2a + b = 0

<=> 2a - b = 16 (2)

Từ (1) và (2) => \(\hept{\begin{cases}2a+b=-16\\2a-b=16\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2) theo vế

=> 2b = -32 => b = -16

Thế b = -16 vào (1)

=> 2a - 16 = -16 => 2a = 0 => a = 0

Vậy \(\hept{\begin{cases}a=0\\b=-16\end{cases}}\)

\(x^4+ax+b\div x^2-4=x^2+4\)dư \(ax+b+16\)

Để \(x^4+ax+b⋮x^2-4\)thì

\(ax+b+16=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ax=0\\b+16=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=0\\b=-16\end{cases}}}\)